Determine a transformada de Laplace de
f(t)=\left(\cos (2 t)+e^{-4 t}\right) u(t)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a transformada de Laplace da função
f(t)=\left(\cos (2 t)+e^{-4 t}\right)u(t).
Informações dadas:
  • A função é a soma de dois termos: \cos(2t) e e^{-4t}.
  • Há o fator u(t), a função degrau unitário, que indica que a função é considerada para t\ge 0.
  • A questão é: calcular \mathcal{L}\{f(t)\}(s), ou seja, a transformada de Laplace dessa função.

Passo 2

Definição e ideia principal que vou usar (explico com calma): a transformada de Laplace de uma função g(t) (considerada para t\ge 0) é definida por
\mathcal{L}\{g(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,g(t)\,dt,
onde s é a variável (geralmente complexa). Para que essa integral exista, precisamos que ela convirja — isso impõe condições sobre a parte real de s que aparecerão no final (região de convergência). Outra propriedade muito útil, e que vamos usar já de cara, é a linearidade:
\mathcal{L}\{g_1(t)+g_2(t)\}(s)=\mathcal{L}\{g_1(t)\}(s)+\mathcal{L}\{g_2(t)\}(s).
Como f(t) é soma de duas funções, podemos transformar cada uma separadamente e somar os resultados.

Passo 3

Aplicando a linearidade ao nosso f(t):
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\mathcal{L}\{\cos(2t)\,u(t)\}(s)+\mathcal{L}\{e^{-4t}\,u(t)\}(s).
Como u(t) apenas garante que integraremos a partir de 0, podemos, na prática, calcular as integrais entre 0 e \infty normalmente.

Passo 4

Calcular \mathcal{L}\{\cos(2t)\}(s) passo a passo (sem pular etapas).
Defina
I=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\cos(2t)\,dt.
Vamos integrar por partes duas vezes. Primeiro, escolha u=\cos(2t) e dv=e^{-st}dt. Então du=-2\sin(2t)dt e v=-\dfrac{e^{-st}}{s}. Aplicando integração por partes:
I=\left[-\dfrac{e^{-st}\cos(2t)}{s}\right]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty}\left(-\dfrac{e^{-st}}{s}\right)\bigl(-2\sin(2t)\bigr)\,dt.
Avaliação do termo de fronteira: para \operatorname{Re}(s)>0 temos e^{-st}\to 0 quando t\to\infty, e em t=0 temos -\dfrac{e^{0}\cos 0}{s}=-\dfrac{1}{s}. Portanto o termo de fronteira dá 0-(-\tfrac{1}{s})=\tfrac{1}{s}. O integral restante é
I=\frac{1}{s}-\frac{2}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-st}\sin(2t)\,dt.
Chame
J=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\sin(2t)\,dt.
Agora calcule J por partes: escolha u=\sin(2t), dv=e^{-st}dt. Então du=2\cos(2t)dt e v=-\dfrac{e^{-st}}{s}. Assim
J=\left[-\dfrac{e^{-st}\sin(2t)}{s}\right]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty}\left(-\dfrac{e^{-st}}{s}\right)\bigl(2\cos(2t)\bigr)\,dt.
O termo de fronteira é zero porque \sin(0)=0 e e^{-st}\to 0 no infinito (novamente \operatorname{Re}(s)>0). Logo
J=\frac{2}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-st}\cos(2t)\,dt=\frac{2}{s}I.
Substituindo esse resultado em I=\dfrac{1}{s}-\dfrac{2}{s}J obtemos
I=\frac{1}{s}-\frac{2}{s}\cdot\frac{2}{s}I=\frac{1}{s}-\frac{4}{s^{2}}I.
Isolando I:
I\left(1+\frac{4}{s^{2}}\right)=\frac{1}{s}\quad\Rightarrow\quad I=\frac{1}{s}\cdot\frac{s^{2}}{s^{2}+4}=\frac{s}{s^{2}+4}.
Portanto
\mathcal{L}\{\cos(2t)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+4},\qquad \operatorname{Re}(s)>0.
(Dica prática: decorar a fórmula \mathcal{L}\{\cos(at)\}(s)=\dfrac{s}{s^{2}+a^{2}} economiza tempo na prova.)

Passo 5

Calcular \mathcal{L}\{e^{-4t}\}(s) (bem direto):
\mathcal{L}\{e^{-4t}\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}e^{-4t}\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(s+4)t}\,dt.
Essa é uma integral exponencial simples. Para \operatorname{Re}(s+4)>0 (ou seja, \operatorname{Re}(s)>-4) tem-se
\int_{0}^{\infty} e^{-(s+4)t}\,dt=\left[-\frac{e^{-(s+4)t}}{s+4}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{s+4}.
Logo
\mathcal{L}\{e^{-4t}\}(s)=\frac{1}{s+4},\qquad \operatorname{Re}(s)>-4.

Passo 6

Somando as duas transformadas (pela linearidade) obtemos:
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+4}+\frac{1}{s+4}.
A região de convergência é a interseção das condições obtidas: \operatorname{Re}(s)>0 e \operatorname{Re}(s)>-4. A interseção é \operatorname{Re}(s)>0. Portanto a expressão acima vale para \operatorname{Re}(s)>0.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+4}+\frac{1}{s+4},\quad \operatorname{Re}(s)>0

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