Determine a transformada de Laplace de
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a transformada de Laplace da função
Informações dadas:
- A função é a soma de dois termos:
e . - Há o fator
, a função degrau unitário, que indica que a função é considerada para . - A questão é: calcular
, ou seja, a transformada de Laplace dessa função.
Passo 2
Definição e ideia principal que vou usar (explico com calma): a transformada de Laplace de uma função
(considerada para
) é definida por
onde
é a variável (geralmente complexa). Para que essa integral exista, precisamos que ela convirja — isso impõe condições sobre a parte real de
que aparecerão no final (região de convergência). Outra propriedade muito útil, e que vamos usar já de cara, é a linearidade:
Como
é soma de duas funções, podemos transformar cada uma separadamente e somar os resultados.
Passo 3
Aplicando a linearidade ao nosso
:
Como
apenas garante que integraremos a partir de
, podemos, na prática, calcular as integrais entre
e
normalmente.
Passo 4
Calcular
passo a passo (sem pular etapas).
Defina
Defina
Vamos integrar por partes duas vezes. Primeiro, escolha
e
. Então
e
. Aplicando integração por partes:
Avaliação do termo de fronteira: para
temos
quando
, e em
temos
. Portanto o termo de fronteira dá
. O integral restante é
Chame
Agora calcule
por partes: escolha
,
. Então
e
. Assim
O termo de fronteira é zero porque
e
no infinito (novamente
). Logo
Substituindo esse resultado em
obtemos
Isolando
:
Portanto
(Dica prática: decorar a fórmula
economiza tempo na prova.)
Passo 5
Calcular
(bem direto):
Essa é uma integral exponencial simples. Para
(ou seja,
) tem-se
Logo
Passo 6
Somando as duas transformadas (pela linearidade) obtemos:
A região de convergência é a interseção das condições obtidas:
e
. A interseção é
. Portanto a expressão acima vale para
.