Determine a transformada de Laplace inversa das funções F(s) = s / (s^2 - 4s + 13)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer encontrar a transformada de Laplace inversa da função . Isso está dentro do conteúdo de Transformadas de Laplace, especificamente tratando de transformar funções do domínio de volta para o domínio do tempo . Para resolver isso, vamos precisar completar o quadrado no denominador e usar algumas propriedades básicas das transformadas de Laplace inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador da fração: . Para simplificar, vamos completar o quadrado nessa expressão. Completar o quadrado ajuda a reescrever a expressão de uma forma que conhecemos a transformada inversa.

Passo 3

Para completar o quadrado de , seguimos estes passos:
  1. Pegue o coeficiente de , que é -4, divida por 2 e eleve ao quadrado:
  2. Reescreva a expressão adicionando e subtraindo esse valor:
Então, .

Passo 4

Agora, a função fica:
Para facilitar a identificação com as transformadas conhecidas, vamos ajustar o numerador para que ele se pareça com a forma padrão .

Passo 5

Observamos que:
Isso separa a fração em duas partes que podemos transformar individualmente.

Passo 6

Agora, vamos lembrar das transformadas de Laplace inversas básicas:
No nosso caso, e (porque ).

Passo 7

Aplicando essas transformadas à nossa função:
  1. Para :
  2. Para :

Resposta

Então, a transformada de Laplace inversa de é:

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