Resolva os problemas de valor inicial: y'' + 4y = f(t), y(0) = 0, y'(0) = 0, em que f(t) = { sen(t) para 0 <= t < 2pi; 0 para t >= 2pi }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa resolver a equação diferencial de segunda ordem , com as condições iniciais e . O que a gente vai usar aqui é o método de equações diferenciais lineares com função forçada. A função muda dependendo do intervalo de , então vamos resolver em partes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, . Essa é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente começa encontrando as raízes da equação característica:
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação homogênea é:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como é para e 0 para , vamos tratar esses dois casos separadamente.
Para :
A gente tenta uma solução particular da forma . Vamos derivar e substituir na equação:
Substituindo na equação diferencial:
Igualando os coeficientes:
Portanto, a solução particular é:

Passo 4

Juntando a solução homogênea e a particular, temos a solução geral para :
Agora, aplicamos as condições iniciais e .
Para :
Derivando :
Para :
Assim, a solução para é:

Passo 5

Para , a função , então a equação diferencial fica homogênea:
A solução geral é novamente da forma:
Precisamos garantir que a solução seja contínua e diferenciável em . Então, calculamos e da solução anterior:
Portanto, para :

Resposta

Portanto, a solução completa do problema de valor inicial é:

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