Determine a transformada de Laplace de:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a transformada de Laplace da função
.
Informações dadas e relevantes: a função é definida para
; o parâmetro
é um número (em geral real, mas pode ser complexo) e queremos uma expressão em termos de
. O enunciado não dá mais dados, então devemos encontrar a fórmula da transformada e a condição em
para a integral convergir.
Informações dadas e relevantes: a função é
Passo 2
Definição que vamos usar (é a ferramenta básica aqui): a transformada de Laplace de uma função
é
Explicando as variáveis:
é a variável da função (normalmente “tempo”),
é a variável complexa da transformada. A integral converge somente quando o integrando tende a zero rápido o suficiente quando
; para funções exponenciais isso se traduz numa condição simples sobre
(vamos ver já já).
Passo 3
Substituímos
na definição:
Agora simplificamos o produto das exponenciais usando a regra
:
Logo a integral fica
Passo 4
Para calcular a integral, definimos
. Então precisamos integrar
. Conhecemos a primitiva:
Para avaliar a integral imprópria usamos os limites:
Esse limite existe e é igual a
desde que
quando
. Isso acontece exatamente quando a parte real de
for positiva, ou seja
.
Passo 5
Voltando à nossa substituição
, a integral converge quando
, isto é
. Para
real isto se escreve simplesmente
. Quando essa condição vale, obtemos
Pequeno comentário de amigo: é comum confundir o sinal no denominador — o correto é
, não
. Um exemplo concreto: se
, então
, válido para
.
Passo 6
Por que usei a definição direta? Porque é a forma mais elementar e segura: substituí a função na integral e calculei. Existe também a visão pela propriedade de deslocamento na frequência (shift), que dá o mesmo resultado e é útil quando já se conhece
, mas para aprender e lembrar sem atalho a definição direta é a melhor escolha.