Determine a transformada de Laplace de:
\mathcal{L}\left\{e^{a t}\right\}=\frac{1}{s+a}, s>a

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a transformada de Laplace da função \,e^{a t}\,.
Informações dadas e relevantes: a função é \,f(t)=e^{a t}\, definida para t\ge 0; o parâmetro a é um número (em geral real, mas pode ser complexo) e queremos uma expressão em termos de s. O enunciado não dá mais dados, então devemos encontrar a fórmula da transformada e a condição em s para a integral convergir.

Passo 2

Definição que vamos usar (é a ferramenta básica aqui): a transformada de Laplace de uma função f(t) é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,f(t)\,dt.
Explicando as variáveis: t é a variável da função (normalmente “tempo”), s é a variável complexa da transformada. A integral converge somente quando o integrando tende a zero rápido o suficiente quando t\to\infty; para funções exponenciais isso se traduz numa condição simples sobre s (vamos ver já já).

Passo 3

Substituímos f(t)=e^{a t} na definição:
\mathcal{L}\{e^{a t}\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,e^{a t}\,dt.
Agora simplificamos o produto das exponenciais usando a regra e^{u}e^{v}=e^{u+v}:
e^{-s t}\,e^{a t}=e^{-(s-a)t}.
Logo a integral fica
\mathcal{L}\{e^{a t}\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)t}\,dt.

Passo 4

Para calcular a integral, definimos k = s-a. Então precisamos integrar \int_{0}^{\infty} e^{-k t}\,dt. Conhecemos a primitiva:
\int e^{-k t}\,dt = -\frac{1}{k}e^{-k t}\qquad (\text{para }k\neq 0).
Para avaliar a integral imprópria usamos os limites:
\int_{0}^{\infty} e^{-k t}\,dt = \lim_{T\to\infty}\left[-\frac{1}{k}e^{-k t}\right]_{t=0}^{t=T} = \lim_{T\to\infty}\left(-\frac{1}{k}e^{-k T} + \frac{1}{k}\right).
Esse limite existe e é igual a \dfrac{1}{k} desde que e^{-k T}\to 0 quando T\to\infty. Isso acontece exatamente quando a parte real de k for positiva, ou seja \operatorname{Re}(k)>0.

Passo 5

Voltando à nossa substituição k=s-a, a integral converge quando \operatorname{Re}(s-a)>0, isto é \operatorname{Re}(s)>\operatorname{Re}(a). Para a real isto se escreve simplesmente s>a. Quando essa condição vale, obtemos
\mathcal{L}\{e^{a t}\}(s)=\frac{1}{s-a}.
Pequeno comentário de amigo: é comum confundir o sinal no denominador — o correto é s-a, não s+a. Um exemplo concreto: se a=2, então \mathcal{L}\{e^{2t}\}(s)=\dfrac{1}{s-2}, válido para s>2.

Passo 6

Por que usei a definição direta? Porque é a forma mais elementar e segura: substituí a função na integral e calculei. Existe também a visão pela propriedade de deslocamento na frequência (shift), que dá o mesmo resultado e é útil quando já se conhece \mathcal{L}\{1\}=\tfrac{1}{s}, mas para aprender e lembrar sem atalho a definição direta é a melhor escolha.

Resposta

\mathcal{L}\{e^{a t}\}(s)=\dfrac{1}{s-a},\\ s>a

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