Encontre a solução geral da equações diferenciais a seguir, apresentando todos os cálculos e observações de forma organizada:
-y d x+(x+\sqrt{x y}) d y=0
-y d x+(x+\sqrt{x y}) d y=0
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial implícita
e pede a solução geral.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A equação está escrita na forma
com e . - Devemos encontrar a solução geral (implícita ou explícita), incluindo observações sobre soluções particulares que eventualmente não aparecem na forma geral.
Passo 2
Vamos reescrever a equação de forma mais conveniente e procurar uma substituição que simplifique os termos. Primeiro reorganizo os termos:
Observe que o termo
aparece — esse termo é exatamente o numerador que surge em derivadas do quociente
. Por isso é natural tentar a substituição
Vou usar essa substituição passo a passo, porque ela costuma transformar termos como
em algo simples (proporcional a
).
Passo 3
Faço a substituição
. Então
Substituo na equação reescrita
.
Calculo
usando
:
Calculo
usando
:
Então o termo
vira
Agora substituo tudo na equação:
Passo 4
Agrupo os termos em
e
:
Divido por
(assumindo inicialmente
; tratamos
à parte se necessário):
Isolo
:
É uma equação separável em
e
.
Passo 5
Para integrar com mais facilidade faço a substituição intermediária
. Então
e
. Substituo em
(pois
e
):
Se
corresponderia a
i.e.
, que veremos como caso especial. Para
cancelo um
:
Passo 6
Separo variáveis:
Faço a integral dos dois lados. Primeiro o lado esquerdo:
Integro termo a termo:
O lado direito é
Juntando as constantes (
) obtemos a relação implícita
Passo 7
Reescrevo a expressão juntando os termos logarítmicos:
Mas
. Lembrando que
, temos
. Logo
Substituo
. Então
. Assim a solução implícita fica
onde
é constante arbitrária.
Passo 8
Observações finais e caso especial:
- A expressão acima é a solução geral implícita válida para
e (os sinais na raiz estão contemplados pelo valor de e pelos módulos nos logaritmos). - Há a solução singular
. Verificação rápida: se então e a equação original é satisfeita (pois reduz a com ). Note que não aparece na forma , por isso deve ser citada separadamente.