Encontre a solução geral da equações diferenciais a seguir, apresentando todos os cálculos e observações de forma organizada:
-y d x+(x+\sqrt{x y}) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial implícita
-y\,dx + \bigl(x + \sqrt{x y}\bigr)\,dy = 0
e pede a solução geral.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação está escrita na forma M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0 com M(x,y) = -y e N(x,y)=x+\sqrt{x y}.
  • Devemos encontrar a solução geral (implícita ou explícita), incluindo observações sobre soluções particulares que eventualmente não aparecem na forma geral.

Passo 2

Vamos reescrever a equação de forma mais conveniente e procurar uma substituição que simplifique os termos. Primeiro reorganizo os termos:
-x\,? \text{ (não alterar)}\quad\Rightarrow\quad x\,dy - y\,dx + \sqrt{x y}\,dy = 0.ã
Observe que o termo x\,dy - y\,dx aparece — esse termo é exatamente o numerador que surge em derivadas do quociente y/x. Por isso é natural tentar a substituição
v=\frac{y}{x}.
Vou usar essa substituição passo a passo, porque ela costuma transformar termos como x\,dy - y\,dx em algo simples (proporcional a dv).

Passo 3

Faço a substituição y=vx. Então
dy = v\,dx + x\,dv.
Substituo na equação reescrita x\,dy - y\,dx + \sqrt{x y}\,dy = 0.
Calculo x\,dy - y\,dx usando y=vx:
x\,dy - y\,dx = x\bigl(v\,dx + x\,dv\bigr) - v x\,dx = x^2\,dv.
Calculo \sqrt{x y} usando y=vx:
\sqrt{x y} = \sqrt{x\cdot v x} = \sqrt{v}\,x.
Então o termo \sqrt{x y}\,dy vira
\sqrt{x y}\,dy = x\sqrt{v}\bigl(v\,dx + x\,dv\bigr) = x\sqrt{v}\,v\,dx + x^2\sqrt{v}\,dv.
Agora substituo tudo na equação:
x^2\,dv + x\sqrt{v}\,v\,dx + x^2\sqrt{v}\,dv = 0.

Passo 4

Agrupo os termos em dv e dx:
x^2\bigl(1+\sqrt{v}\bigr)dv + x\sqrt{v}\,v\,dx = 0.
Divido por x^2 (assumindo inicialmente x\neq 0; tratamos x=0 à parte se necessário):
\bigl(1+\sqrt{v}\bigr)dv + \frac{\sqrt{v}\,v}{x}\,dx = 0.
Isolo dv/dx:
\frac{dv}{dx} = -\frac{\sqrt{v}\,v}{x\bigl(1+\sqrt{v}\bigr)}.
É uma equação separável em v e x.

Passo 5

Para integrar com mais facilidade faço a substituição intermediária s=\sqrt{v}. Então v=s^2 e dv = 2s\,ds. Substituo em \dfrac{dv}{dx} = -\dfrac{s^3}{x(1+s)} (pois \sqrt{v}=s e v=s^2):
2s\frac{ds}{dx} = -\frac{s^3}{x(1+s)}.
Se s=0 corresponderia a v=0 i.e. y=0, que veremos como caso especial. Para s\neq 0 cancelo um s:
2\frac{ds}{dx} = -\frac{s^2}{x(1+s)}.

Passo 6

Separo variáveis:
\frac{2(1+s)}{s^2}\,ds = -\frac{dx}{x}.
Faço a integral dos dois lados. Primeiro o lado esquerdo:
\frac{2(1+s)}{s^2} = 2\left(\frac{1}{s^2} + \frac{1}{s}\right).
Integro termo a termo:
\int 2\left(s^{-2}+s^{-1}\right)ds = \int \bigl(2s^{-2}+2s^{-1}\bigr)ds = 2\bigl(-s^{-1}\bigr) + 2\ln|s| + C_1 = -\frac{2}{s} + 2\ln|s| + C_1.
O lado direito é
\int -\frac{dx}{x} = -\ln|x| + C_2.
Juntando as constantes ( C=C_2-C_1) obtemos a relação implícita
-\frac{2}{s} + 2\ln|s| = -\ln|x| + C.

Passo 7

Reescrevo a expressão juntando os termos logarítmicos:
2\ln|s| + \ln|x| - \frac{2}{s} = C.
Mas 2\ln|s| + \ln|x| = \ln\bigl(|x|s^2\bigr). Lembrando que s^2=v=\dfrac{y}{x}, temos x s^2 = x\cdot \dfrac{y}{x} = y. Logo
\ln|y| - \frac{2}{s} = C.
Substituo s=\sqrt{v}=\sqrt{\dfrac{y}{x}}. Então \dfrac{1}{s}=\sqrt{\dfrac{x}{y}}. Assim a solução implícita fica
\boxed{\ln|y| - 2\sqrt{\dfrac{x}{y}} = C},
onde C é constante arbitrária.

Passo 8

Observações finais e caso especial:
  • A expressão acima é a solução geral implícita válida para y\neq 0 e x\neq 0 (os sinais na raiz estão contemplados pelo valor de C e pelos módulos nos logaritmos).
  • Há a solução singular y\equiv 0. Verificação rápida: se y\equiv 0 então dy=0 e a equação original -y\,dx + (x+\sqrt{xy})\,dy=0 é satisfeita (pois reduz a 0=0 com dy=0). Note que y=0 não aparece na forma \ln|y|, por isso deve ser citada separadamente.

Resposta

\ln|y| - 2\sqrt{\dfrac{x}{y}} = C\n
y \equiv 0

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