Determine a transformada de Laplace e a região de convergência associada e o diagrama de polos e zeros para cada uma das seguintes funções do tempo:
(j) x(t)=\delta(3 t)+u(3 t)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
x(t)=\delta(3t)+u(3t)
além da região de convergência (ROC) e do diagrama de polos e zeros. Vamos usar as propriedades de escala e de deslocamento:
  1. \delta(a t)=\tfrac{1}{|a|}\,\delta(t) e \mathcal{L}\{\delta(t)\}=1.
  2. Para a>0,
\mathcal{L}\{f(a t)\} =\int_{0}^{\infty}f(a t)e^{-s t}dt =\frac{1}{a}\,\int_{0}^{\infty}f(\tau)e^{-\frac{s}{a}\tau}d\tau =\frac{1}{a}F\Bigl(\frac{s}{a}\Bigr).

Passo 2

Calcular \mathcal{L}\{\delta(3t)\}. Usando \delta(3t)=\tfrac{1}{3}\,\delta(t) e \mathcal{L}\{\delta(t)\}=1, vem
\mathcal{L}\{\delta(3t)\} =\frac{1}{3}\,\mathcal{L}\{\delta(t)\} =\frac{1}{3}.

Passo 3

Calcular \mathcal{L}\{u(3t)\}. Aplicando a propriedade de escala com f(t)=u(t) e a=3:
\mathcal{L}\{u(3t)\} =\frac{1}{3}\,U\!\Bigl(\frac{s}{3}\Bigr) \quad\text{e}\quad U(s)=\mathcal{L}\{u(t)\}=\frac{1}{s}\quad(\Re(s)>0).
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\mathcal{L}\{u(3t)\} =\frac{1}{3}\,\frac{1}{\,s/3\,} =\frac{1}{s},
com ROC \Re(s)>0.

Passo 4

Somamos as duas partes para obter
X(s) =\mathcal{L}\{\delta(3t)\}+\mathcal{L}\{u(3t)\} =\frac{1}{3}+\frac{1}{s}.
A ROC de X(s) é a interseção das ROCs individuais. Como \tfrac{1}{3} (delta) converge para todo s e \tfrac{1}{s} exige \Re(s)>0, temos
\text{ROC: }\Re(s)>0.

Passo 5

Escrevendo em forma racional para identificar polos e zeros:
X(s) =\frac{1}{3}+\frac{1}{s} =\frac{s+3}{3\,s}.
O numerador anula-se em s=-3 (zero simples) e o denominador anula-se em s=0 (polo simples).

Resposta

X(s)=\frac{s+3}{3\,s},
com região de convergência \Re(s)>0.
Diagrama de polos e zeros:
  • Polo simples em s=0.
  • Zero simples em s=-3.

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