Determine a transformada de Laplace e a região de convergência associada e o diagrama de polos e zeros para cada uma das seguintes funções do tempo:
(i) x(t)=\delta(t)+u(t)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace bilateral de x(t)=\delta(t)+u(t), sua região de convergência (ROC) e o diagrama de polos e zeros. Vamos usar as transformadas conhecidas de \delta(t) e de u(t), depois somar e determinar a ROC pela interseção das ROC parciais.

Passo 2

Para \delta(t) sabemos que
\mathcal{L}\{\delta(t)\} = 1
e a ROC dessa transformada é todo o plano complexo, pois não há restrição em s.
Para u(t) (a função degrau de Heaviside) temos
\mathcal{L}\{u(t)\} = \frac{1}{s}
e a ROC é
\Re(s)>0\,,
pois a integral converge somente para parte real de s positiva.

Passo 3

Como a transformada de Laplace é linear,
X(s)=\mathcal{L}\{x(t)\} =\mathcal{L}\{\delta(t)\}+\mathcal{L}\{u(t)\} =1+\frac{1}{s} =\frac{s+1}{s}\,.

Passo 4

A ROC de X(s) é a interseção das ROC das parcelas: para 1 (todo o plano) e para 1/s ( \Re(s)>0). Logo
\text{ROC: }\Re(s)>0\,.

Passo 5

O diagrama de polos e zeros de
X(s)=\frac{s+1}{s}
é obtido observando o numerador e o denominador:
– Zero simples em s=-1.
– Polo simples em s=0.
A região de convergência \Re(s)>0 fica à direita do eixo imaginário.
Em forma esquemática no plano s:
\begin{array}{c} \Im(s)\\\ \quad|\quad\\ o\;\;(-1,0)\;\text{zero}\\\ \quad|\quad\\ \\\\ ----\times----\to\Re(s)\\\ \quad\\ (0,0)\;\text{polo} \end{array}

Resposta

X(s)=\frac{s+1}{s},\qquad\text{ROC: }\Re(s)>0,
diagrama de polos e zeros: zero em s=-1, polo em s=0, região de convergência à direita do eixo imaginário.

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