Determine a transformada de Laplace e a região de convergência associada e o diagrama de polos e zeros para cada uma das seguintes funções do tempo:
(h) x(t)= \begin{cases}t, & 0 \leq t \leq 1 \\\\ 2-t, & 1 \leq t \leq 2\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de x(t)\) definida por \[x(t)= \begin{cases} t, & 0 \le t \le 1,\\\\ 2-t, & 1 \le t \le 2,\\\\ 0, & \text{caso contrário}, \end{cases}
além da região de convergência e do diagrama de polos e zeros. Vamos usar a definição
X(s)=\int_{0}^{\infty}x(t)e^{-st}dt
aplicada em cada trecho em que (x(t)\neq0].

Passo 2

Calcular
A=\int_{0}^{1}t\,e^{-st}dt.
Usando a fórmula
\int_{0}^{a}t\,e^{-st}dt =\frac{1 - e^{-sa}(1+sa)}{s^2},
com a=1, obtemos
A=\frac{1 - e^{-s}(1+s)}{s^2}.
Em seguida, calcular
B=\int_{1}^{2}(2-t)e^{-st}dt
por partes, o que leva a
B=\frac{e^{-s}(s-1)}{s^2}+\frac{e^{-2s}}{s^2}.

Passo 3

Somando A e B resulta
X(s)=A+B =\frac{1 - e^{-s}(1+s)}{s^2} +\frac{e^{-s}(s-1)}{s^2} +\frac{e^{-2s}}{s^2} =\frac{1 - 2e^{-s}+e^{-2s}}{s^2} =\frac{(1 - e^{-s})^2}{s^2}.

Passo 4

Como x(t) tem suporte compacto em [0,2], a integral converge para todo s\in\mathbb{C}. A forma \frac{(1-e^{-s})^2}{s^2} apresenta em s=0 uma singularidade removível (expansão em série mostra que o valor é finito), logo a região de convergência é todo o plano complexo.

Passo 5

Da expressão
X(s)=\frac{(1 - e^{-s})^2}{s^2}
vemos que os zeros ocorrem quando 1 - e^{-s}=0, isto é
e^{-s}=1\quad\Longrightarrow\quad s=j2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z},
cada um de multiplicidade 2. A singularidade em s=0 do denominador é removível, não sobrando polos efetivos.

Passo 6

Diagrama de polos e zeros:
– Zeros de ordem 2 em s=j2\pi k, k\in\mathbb{Z}.
– Sem polos no plano complexo.

Resposta

X(s)=\displaystyle \frac{(1 - e^{-s})^2}{s^2}.
Região de convergência: todo o plano complexo.
Diagrama: zeros de ordem 2 em s=j2\pi k, sem polos.

Exercícios relacionados