Determine a transformada de Laplace e a região de convergência associada e o diagrama de polos e zeros para cada uma das seguintes funções do tempo:
(h) x(t)= \begin{cases}t, & 0 \leq t \leq 1 \\\\ 2-t, & 1 \leq t \leq 2\end{cases}
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Laplace de x(t)\) definida por
\[x(t)= \begin{cases} t, & 0 \le t \le 1,\\\\ 2-t, & 1 \le t \le 2,\\\\ 0, & \text{caso contrário}, \end{cases}
além da região de convergência e do diagrama de polos e zeros. Vamos usar a definição
Como x(t) tem suporte compacto em [0,2], a integral converge para todo s\in\mathbb{C}. A forma \frac{(1-e^{-s})^2}{s^2} apresenta em s=0 uma singularidade removível (expansão em série mostra que o valor é finito), logo a região de convergência é todo o plano complexo.
Passo 5
Da expressão
X(s)=\frac{(1 - e^{-s})^2}{s^2}
vemos que os zeros ocorrem quando 1 - e^{-s}=0, isto é