Determine as transformadas de Fourier dos seguintes sinais
e) x(t)=-(t+1) G1(t+0.5)+(1-t) G1(t-0.5)

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Determine a transformada de Fourier do sinal
x(t)= -,(t+1),G1(t+0.5);+;(1 - t),G1(t-0.5)
Aqui G₁(t) é a função retângulo unitária (largura 1, amplitude 1 em ½½).
Conteúdo e ferramentas que vamos usar:
  • Definição de transformada de Fourier
  • Transformada de
  • Propriedade de deslocamento no tempo
  • Propriedade de multiplicação por (derivada em frequência)
  • Algumas regras básicas de soma e simplificação de senos/cossenos

Passo 2

Primeiro, vale ver explicitamente o suporte de cada termo:
  1. é 1 para ½½, ou seja .
    Em , o sinal é .
  2. é 1 para ½½, ou seja .
    Em , o sinal é .
    Fora dessas faixas, .
Então dá pra ver que é um “triângulo anti-simétrico” em .

Passo 3

Agora as fórmulas básicas de que vamos precisar (usando a FT não normalizada FG1(t) =integral-1/2^1/2e^-jomega tdt =2sin(omega/2)omega ):
  1. Transformada de :
  1. Deslocamento no tempo:
    .
  2. Multiplicação por :

Passo 4

Escrevendo cada pedaço em termos dessas propriedades:
a) F(t+1)G1(t+0.5) = jddomegal[2sin(omega/2)omegae^+jomega/2r] ;+;2sin(omega/2)omega,e^+jomega/2
Então
F(1-t)G1(t-0.5) = 2sin(omega/2)omega,e^-jomega/2 ;-;jddomegal[2sin(omega/2)omegae^-jomega/2r]
b) X(omega) =-F(t+1)G1(t+0.5) ;+;F(1-t)G1(t-0.5)
Logo
c) Como o sinal é a soma com sinais negativos:

Passo 5

Agora a “mágica” da soma e da simplificação.
  1. Soma das partes sem derivada:
2sin(omega/2)omegal(e^-jomega/2-e^+jomega/2r) = 2sin(omega/2)omegal(-2jsin(omega/2)r) = -4j;sin^2(omega/2)omega
Mas -j,ddomegal[2sin(omega/2)omega(e^+jomega/2+e^-jomega/2)r] =-j,ddomegal[2sin(omega)omegar] =-2j,ddomegal[sinomegaomegar] , então isso vira
X(omega) =-2j,1-cosomegaomega ;-;2j,omegacosomega-sinomegaomega^2 =-2j;omega-sinomegaomega^2 ;=;2j;sinomega-omegaomega^2
  1. Soma das partes com derivada:
Calculando a derivada:
Juntando tudo:

Resposta

boxed X(omega) =2,j,sinomega-omegaomega^2

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