Determine as transformadas de Fourier dos seguintes sinais
e)
e)
Passo 1
Beleza, o enunciado diz: “Determine a transformada de Fourier do sinal
Aqui G₁(t) é a função retângulo unitária (largura 1, amplitude 1 em
).
Conteúdo e ferramentas que vamos usar:
Conteúdo e ferramentas que vamos usar:
- Definição de transformada de Fourier
- Transformada de
- Propriedade de deslocamento no tempo
- Propriedade de multiplicação por
(derivada em frequência) - Algumas regras básicas de soma e simplificação de senos/cossenos
Passo 2
Primeiro, vale ver explicitamente o suporte de cada termo:
-
é 1 para , ou seja .
Em, o sinal é . -
é 1 para , ou seja .
Em, o sinal é .
Fora dessas faixas,.
Então dá pra ver que
é um “triângulo anti-simétrico” em
.
Passo 3
Agora as fórmulas básicas de que vamos precisar (usando a FT não normalizada
):
- Transformada de
:
- Deslocamento no tempo:
. - Multiplicação por
:
Passo 4
Escrevendo cada pedaço em termos dessas propriedades:
a)
Então
Então
b)
Logo
Logo
c) Como o sinal é a soma com sinais negativos:
Passo 5
Agora a “mágica” da soma e da simplificação.
- Soma das partes sem derivada:
Mas
, então isso vira
- Soma das partes com derivada:
Calculando a derivada:
Juntando tudo: