Determine a transformada de Fourier dos sinais em tempo discreto
e) , use e escreva o resultado usando
Passo 1
Beleza, então o exercício tá pedindo a Transformada de Fourier em tempo discreto (DTFT) de
O conteúdo aqui é “soma de série geométrica” e “DTFT de sinais finitos”. A gente vai usar a fórmula
e lembrar que a DTFT é
X(e^jomega)=sumn=-infty^inftyx[n],e^-jomega n
A partir do próximo passo, partimos pra conta de verdade.
Passo 2
Como X(e^jomega) =sumn=-M^M1cdot e^-jomega n =sumn=-M^Ml(e^-jomegar)^n fora de sumn=-M^Malpha^n =sumk=0^2Malpha^,k-M =alpha^-Msumk=0^2Malpha^k , dá pra escrever direto
sumk=0^2Malpha^k =1-alpha^2M+11-alpha
Definimos X(e^jomega) =alpha^-M,1-alpha^2M+11-alpha =e^jomega M,1-e^-jomega(2M+1)1-e^-jomega . Então a soma vai de até . Pra usar a fórmula, mudo o índice: seja , daí vai de 0 a e .
Agora a série interna é geométrica com termos e , logo
Assim
Passo 3
Agora simplifica essa fração de exponenciais em termos de seno. Lembra que