Determine a transformada de Fourier X(e^j omega) dos sinais em tempo discreto
e) x[n]=ll1 & |n| <= M 0 & |n|>M, use sumn=0^N-1 alpha^n=llN, & alpha=1 1-alpha^N1-alpha, & alpha neq 1 e escreva o resultado usando sinc(theta)

Passo 1

Beleza, então o exercício tá pedindo a Transformada de Fourier em tempo discreto (DTFT) de
x[n]= 1, & |n|<= M, 0, & |n|>M
O conteúdo aqui é “soma de série geométrica” e “DTFT de sinais finitos”. A gente vai usar a fórmula
sumn=0^N-1alpha^n = N, & alpha=1, 1-alpha^N1-alpha, & alphaneq1
e lembrar que a DTFT é
X(e^jomega)=sumn=-infty^inftyx[n],e^-jomega n
A partir do próximo passo, partimos pra conta de verdade.

Passo 2

Como X(e^jomega) =sumn=-M^M1cdot e^-jomega n =sumn=-M^Ml(e^-jomegar)^n fora de sumn=-M^Malpha^n =sumk=0^2Malpha^,k-M =alpha^-Msumk=0^2Malpha^k , dá pra escrever direto
sumk=0^2Malpha^k =1-alpha^2M+11-alpha
Definimos X(e^jomega) =alpha^-M,1-alpha^2M+11-alpha =e^jomega M,1-e^-jomega(2M+1)1-e^-jomega . Então a soma vai de até . Pra usar a fórmula, mudo o índice: seja , daí vai de 0 a e .
Agora a série interna é geométrica com termos e , logo
Assim

Passo 3

Agora simplifica essa fração de exponenciais em termos de seno. Lembra que
1-e^-jtheta =e^-jtheta/2l(e^jtheta/2-e^-jtheta/2r) =2j,e^-jtheta/2,sin!l(tfractheta2r)
Então no numerador com 1-e^-j(2M+1)omega =2j,e^-j(2M+1)omega/2,sin!l(tfrac(2M+1)omega2r), :
1-e^-jomega =2j,e^-jomega/2,sin!l(tfracomega2r)
e no denominador com X(e^jomega) =e^jomega M,2j,e^-j(2M+1)omega/2,sin!l(tfrac(2M+1)omega2r) 2j,e^-jomega/2,sin!l(tfracomega2r), :
X(e^jomega) =sin!l(tfrac(2M+1)omega2r) sin!l(tfracomega2r)
Substituindo em
as exponenciais se cancelam de forma que sobra

Passo 4

Pra escrever com sinc(theta)=sinthetatheta , use a definição padrão
sin!l(tfrac(2M+1)omega2r) =tfrac(2M+1)omega2,sinc!l(tfrac(2M+1)omega2r), sin!l(tfracomega2r) =tfracomega2,sinc!l(tfracomega2r)
Então
X(e^jomega) =tfrac(2M+1)omega2,sinc!l(tfrac(2M+1)omega2r) tfracomega2,sinc!l(tfracomega2r) =(2M+1),sinc!l(tfrac(2M+1)omega2r) sinc!l(tfracomega2r)
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Resposta

boxed X(e^jomega) =sin!l(tfrac(2M+1)omega2r) sin!l(tfracomega2r) =(2M+1),sinc!l(tfrac(2M+1)omega2r) sinc!l(tfracomega2r)

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