Determine três iteradas de Picard para o problema de valor inicial
y' = 2 x (y + 1), y(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial usando Iteradas de Picard. A questão pede para a gente encontrar três iteradas para a equação diferencial:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial ordinária (EDO) de primeira ordem. As iteradas de Picard são uma técnica para aproximar soluções de EDOs usando integrais iterativas. Vamos precisar integrar a função dada repetidamente para chegar a uma aproximação melhor a cada passo.

Passo 2

Primeira Iterada de Picard (y₀):
A primeira coisa que fazemos é escolher uma função inicial . Geralmente, começamos com a condição inicial.
Isso significa que nossa primeira aproximação é simplesmente a constante zero.

Passo 3

Segunda Iterada de Picard (y₁):
Agora, usamos a função para encontrar através da fórmula de Picard:
Substituindo :
Calculando a integral:
Então,

Passo 4

Terceira Iterada de Picard (y₂):
Agora, usamos para encontrar :
Substituindo :
Calculando a integral:
Então,

Passo 5

Quarta Iterada de Picard (y₃):
Agora, usamos para encontrar :
Substituindo :
Calculando a integral:
Então,

Resposta

As três primeiras iteradas de Picard para o problema de valor inicial dado são:

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