A energia cinética de um corpo com massa
e vetor velocidade
é dada por
. Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a fórmula da energia cinética de um corpo, que é
. A questão pede para mostrarmos que:
Para isso, vamos usar derivadas parciais. Precisamos calcular a derivada de
em relação à massa
e a segunda derivada de
em relação ao vetor velocidade
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de
em relação à massa
:
Como
é constante em relação a
, a derivada fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
em relação ao vetor velocidade
. Primeiro, achamos a primeira derivada:
Agora, a segunda derivada é a derivada da derivada anterior em relação a
:
Aqui,
é a matriz identidade, mas como estamos trabalhando com magnitudes, podemos considerar apenas
.
Resposta
Multiplicando as duas derivadas, temos:
Então, mostramos que: