Determine quando u e v são L D ou L I.
u=(1,-3), v=(3,4)

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em \mathbb{R}^2, \mathbf{u}=(1,-3) e \mathbf{v}=(3,4),
e pede para decidir se eles são linearmente dependentes (LD) ou linearmente independentes (LI).
O conteúdo aqui é a noção de independência linear em \mathbb{R}^2: dois vetores são LI se, e somente se, não existirem escalares não triviais a,b tais que
a\,\mathbf{u}+b\,\mathbf{v}=\mathbf{0}.
Em \mathbb{R}^2 isso equivale a verificar se o determinante da matriz que os tem como colunas é diferente de zero.

Passo 2

Formamos a matriz cujas colunas são \mathbf{u} e \mathbf{v}:
M = \begin{pmatrix} 1 & 3\\\\ -3 & 4 \end{pmatrix}.
Calculamos seu determinante:
\det(M) = 1\cdot 4 \;-\; 3\cdot(-3) = 4 + 9 = 13.
Como \det(M)=13\neq 0, não existe combinação linear não trivial que anule esses vetores. Portanto, eles são linearmente independentes.

Resposta

\mathbf{u} e \mathbf{v} são linearmente independentes.

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