Determine o valor da expressão dada:
8^{\frac{2}{3}}+16^{\frac{3}{4}}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o valor da expressão \,8^{\frac{2}{3}}+16^{\frac{3}{4}}\,.
Informações dadas: os dois termos são potências com expoentes racionais (frações).

Passo 2

Relembrando a regra importante sobre expoentes racionais (explicação didática, sem pular etapas):
  • Para um número positivo a e inteiros m e n>0 vale
a^{\frac{m}{n}} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^{m} = \sqrt[n]{a^{m}}.
Isto significa que um expoente fracionário combina uma raiz e uma potência.
Outra regra que vamos usar é a propriedade de potência de potência:
\bigl(a^{b}\bigr)^{c} = a^{b c}.
Essas duas fórmulas são equivalentes e fáceis de aplicar: ou primeiro você faz a raiz e depois eleva à potência, ou usa a representação em potências de uma base conveniente (por exemplo uma potência de 2) e aplica a propriedade de potência de potência.

Passo 3

Calcular \,8^{\frac{2}{3}}\,.
Observação: 8 = 2^{3}. Usando a propriedade de potência de potência:
8^{\frac{2}{3}} = \bigl(2^{3}\bigr)^{\frac{2}{3}} = 2^{3\cdot\frac{2}{3}} = 2^{2} = 4.
Verificação alternativa (mesma ideia, pela raiz): \,8^{\frac{2}{3}} = \bigl(\sqrt[3]{8}\bigr)^{2} = 2^{2}=4.

Passo 4

Calcular \,16^{\frac{3}{4}}\,.
Observação: 16 = 2^{4}. Aplicando a propriedade:
16^{\frac{3}{4}} = \bigl(2^{4}\bigr)^{\frac{3}{4}} = 2^{4\cdot\frac{3}{4}} = 2^{3} = 8.
Verificação alternativa: \,16^{\frac{3}{4}} = \bigl(\sqrt[4]{16}\bigr)^{3} = 2^{3}=8.

Passo 5

Somar os resultados obtidos:
8^{\frac{2}{3}}+16^{\frac{3}{4}} = 4 + 8 = 12.

Passo 6

Dica rápida para a prova (pequena prática): quando vir expoentes racionais, procure escrever a base como uma potência de um número menor (comum é usar 2,3 etc.), então aplique \bigl(a^{b}\bigr)^{c}=a^{bc}. Exemplos rápidos: \,27^{\frac{2}{3}}=(3^{3})^{\frac{2}{3}}=3^{2}=9 e \,32^{\frac{3}{5}}=(2^{5})^{\frac{3}{5}}=2^{3}=8. Isso poupa cálculo e evita pensar em aproximações decimais.

Resposta

12

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