Determine o valor da expressão dada:
(4)^{\frac{2}{3}}\left(2^{\frac{2}{3}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor da expressão
(4)^{\frac{2}{3}}\left(2^{\frac{2}{3}}\right).
Não há outras informações — só queremos a avaliação numérica dessa expressão.

Passo 2

Vamos revisar regras de potências que vamos usar (explicação didática e simples):
  • Para um número positivo a e números racionais m,n, a potência fracionária \,a^{\frac{m}{n}}\, significa que primeiro elevamos a à potência m e depois extraímos a raiz enésima, ou vice‑versa. Em símbolos:
a^{\frac{m}{n}} = \left(a^m\right)^{\frac{1}{n}} = \left(a^{\frac{1}{n}}\right)^m.
Aqui a é a base, m é o numerador do expoente (quantas vezes multiplicar), n é o denominador (qual raiz tomar).
  • Regra de potência sobre potência:
\left(a^b\right)^c = a^{b\cdot c}.
  • Regra de produto de potências mesma base:
a^p \cdot a^q = a^{p+q}.
  • Regra de fator comum em expoentes iguais (quando bases positivas):
a^r \cdot b^r = (ab)^r.
Todas essas fórmulas são diretas e muito úteis — vamos aplicá‑las.

Passo 3

Observe que 4 pode ser escrito como potência de 2, pois 4 = 2^2. Substituindo na expressão:
(4)^{\frac{2}{3}} = \left(2^2\right)^{\frac{2}{3}}.
Agora aplicamos a regra “potência sobre potência” \left(a^b\right)^c = a^{b c}:
\left(2^2\right)^{\frac{2}{3}} = 2^{2\cdot\frac{2}{3}} = 2^{\frac{4}{3}}.

Passo 4

Agora a expressão original fica
2^{\frac{4}{3}}\cdot 2^{\frac{2}{3}}.
Usando a regra do produto de potências com mesma base a^p a^q = a^{p+q}, somamos os expoentes:
2^{\frac{4}{3}}\cdot 2^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{4}{3}+\frac{2}{3}} = 2^{\frac{6}{3}} = 2^2.

Passo 5

Como verificação alternativa (mesma ideia, só outra forma): usando a^r b^r = (ab)^r,
(4)^{\frac{2}{3}}\left(2^{\frac{2}{3}}\right) = (4\cdot 2)^{\frac{2}{3}} = 8^{\frac{2}{3}}.
E 8^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = 2^2. Isso coincide com o resultado do passo anterior.

Passo 6

Estamos quase lá — a expressão foi reduzida a 2^2, que é o passo imediatamente anterior à resposta numérica final.

Resposta

4

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