Determine o valor das expressões a seguir.
\log _{5} \frac{1}{25}+\log _{\frac{2}{3}} \frac{9}{4}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\log_{5}\frac{1}{25} \;+\;\log_{\frac{2}{3}}\frac{9}{4}.
O conteúdo principal são as propriedades de logaritmo:
  1. \log_{a}(a^{k})=k.
  2. \log_{a}(b^{k})=k\,\log_{a}b.
  3. se b=a^{-1} então \log_{a}b=-1.

Passo 2

Calcular \log_{5}\frac{1}{25}. Note que
\frac{1}{25}=5^{-2},
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\log_{5}\frac{1}{25}=\log_{5}(5^{-2})=-2.

Passo 3

Calcular \log_{\frac{2}{3}}\frac{9}{4}. Observe que
\frac{9}{4}=\biggl(\frac{3}{2}\biggr)^{2} =\Bigl((\tfrac{2}{3})^{-1}\Bigr)^{2} =(\tfrac{2}{3})^{-2}.
Usando a propriedade do logaritmo de potência,
\log_{\frac{2}{3}}\frac{9}{4} =\log_{\frac{2}{3}}\bigl((\tfrac{2}{3})^{-2}\bigr) =-2.

Passo 4

Somando os dois resultados:
-2 + (-2) = -4.

Resposta

-4

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