Determine o valor das expressões a seguir.
\log _{\frac{1}{3}} 27+\log _{10} 0,001-\log _{0,1} 10 \sqrt{10}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\log_{\frac{1}{3}}27 \;+\;\log_{10}0,001\;-\;\log_{0,1}\bigl(10\sqrt{10}\bigr).
Vamos usar propriedades de logaritmos tais como mudança de base, potências e inversão de base.

Passo 2

Como 27=3^3 e \tfrac{1}{3}=3^{-1}, temos
\log_{\frac{1}{3}}27 \;=\;\log_{3^{-1}}3^3 \;=\;\frac{3}{-1}\;=\;-3.

Passo 3

Note que 0,001=10^{-3}, então
\log_{10}0,001 \;=\;\log_{10}10^{-3}\;=\;-3.

Passo 4

Temos 0,1=10^{-1} e 10\sqrt{10}=10^{1+\tfrac12}=10^{3/2}. Assim,
\log_{0,1}\bigl(10\sqrt{10}\bigr) =\log_{10^{-1}}10^{\tfrac{3}{2}} =\frac{\tfrac{3}{2}}{-1} =-\frac{3}{2}.

Passo 5

Agora somamos os três resultados:
-3 + (-3)\;-\;\Bigl(-\tfrac{3}{2}\Bigr) =-6 + \frac{3}{2} =-\frac{12}{2} + \frac{3}{2} =-\frac{9}{2}.

Resposta

-\frac{9}{2}

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