Calcule o valor de cada uma das expressões a seguir:
3^{\log _{3} 27}: 4^{\log _{4} \frac{1}{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular as duas expressões
3^{\log_{3}27} \quad\text{e}\quad 4^{\log_{4}\tfrac12}.
O conteúdo principal aqui é a relação entre exponenciação e logaritmo, baseada na propriedade fundamental:
a^{\log_{a}b} = b,
válida para a>0, a\neq1 e b>0.

Passo 2

Para a primeira expressão, identifiquemos a=3 e b=27. Aplicando a propriedade:
3^{\log_{3}27} = 27.
Alternativamente, nota-se que \log_{3}27=3 (pois 3^3=27) e então 3^3=27.

Passo 3

Para a segunda expressão, temos a=4 e b=\tfrac12. Novamente, pela mesma propriedade:
4^{\log_{4}\tfrac12} = \tfrac12.
De modo equivalente, reconhece-se que \log_{4}\tfrac12 = -\tfrac12 (pois 4^{-1/2}=(\sqrt4)^{-1}=\tfrac12) e assim 4^{-1/2}=\tfrac12.

Resposta

3^{\log_{3}27} = 27
4^{\log_{4}\tfrac12} = \tfrac12

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