Determine o valor de a in R de modo que a função definida por
f(x) = { a*x + 1, se x < 2; x - a*x², se x ≥ 2 }
seja contínua em x = 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor de para que a função
seja contínua em . Isso envolve entender o que é continuidade de uma função em um ponto e como igualar os limites laterais para garantir essa continuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto . A função é contínua em se:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .
No nosso caso, queremos que seja contínua em . Então, precisamos garantir que o limite quando se aproxima de 2 pela esquerda seja igual ao limite quando se aproxima de 2 pela direita, e ambos sejam iguais ao valor de .

Passo 3

Vamos calcular o limite pela esquerda, isto é, quando se aproxima de 2 por valores menores que 2 ( ).
Para , a função é . Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite pela direita, ou seja, quando se aproxima de 2 por valores maiores ou iguais a 2 ( ).
Para , a função é . Então,

Passo 5

Para a função ser contínua em , os limites laterais devem ser iguais. Portanto, igualamos os resultados obtidos:

Passo 6

Agora, vamos resolver a equação para encontrar o valor de :

Resposta

O valor de que torna a função contínua em é .

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