[1 pt] calcule o limite lim (x, y) (0,0) x(e^y / x-1)x+y

Passo 1

Vamos calcular o limite . Esse exercício envolve o estudo de limites em funções de duas variáveis, uma parte importante do cálculo multivariável. Para resolver, precisamos entender como a função se comporta quando e se aproximam de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão e^z = 1 + z + z^22! + z^33! + dots . Observamos que temos e^y/x = 1 + yx + (y/x)^22! + dots , que pode ser expandido usando a série de Taylor para a função exponencial. A série de Taylor para em torno de é:
Substituindo , temos:
Portanto,

Passo 3

Agora, substituímos essa expansão na expressão original:
x(e^y / x-1)x+y = x(yx + (y/x)^22! + dots)x+y
Simplificando, multiplicamos = y + y^22x + dotsx+y por cada termo dentro dos parênteses:

Passo 4

Para analisar o limite quando = kx + (kx)^22x + dotsx + kx = kx + k^2x^22x + dotsx(1 + k) = kx + k^2x2 + dotsx(1 + k) , podemos considerar diferentes caminhos de aproximação. Vamos tentar o caminho onde = k + k^22 + dots1 + k , onde k1 + k é uma constante.
Substituindo na expressão:
Simplificando:
À medida que , os termos com desaparecem, restando:

Passo 5

Observamos que o valor do limite depende do valor de , ou seja, do caminho pelo qual se aproxima de . Como podemos obter diferentes resultados dependendo de , isso indica que o limite não existe, já que ele não é único.

Resposta

O limite não existe.

Exercícios relacionados