onde F(\omega) é a transformada de Fourier de f. Aqui t é a variável no domínio do tempo/espaço e \omega é a variável de frequência; o fator 1/(2\pi) vem da convenção escolhida acima.
Passo 3
Calculo a transformada de Fourier de f(t)=\operatorname{sinc}(t)=\dfrac{\sin t}{t}\).
Vou construir \(f\) a partir de uma função simples no domínio da frequência: considere a função retângulo
\[G(\omega)=\begin{cases} 1, & |\omega|<1,\\[4pt] 0, & |\omega|>1, \end{cases}
(Os valores nos pontos de fronteira \omega=\pm1\] não importam para integrais e podem ser dados arbitrariamente.)
Usando a fórmula da transformada inversa com \[F(\omega)=G(\omega) obtemos
Isso mostra que g(t)=\dfrac{1}{\pi}\operatorname{sinc}(t) é a transformada inversa de G(\omega). Invertendo a relação (isto é, aplicando a transformada direta), obtemos que a transformada de Fourier de \operatorname{sinc}(t) é
Comentário amigável: a ideia-chave foi reconhecer que \operatorname{sinc}(t)=\sin t/t tem transformada de Fourier igual a uma função retângulo (de altura \pi em (-1,1)), e então usar Parseval para transformar a integral de quadrado em uma integral simples sobre um intervalo finito.