Determine o valor das integrais
\quad \int_{-\infty}^{+\infty} \operatorname{sinc}^{2}(t) d t

Passo 1

O enunciado pede para determinar o valor da integral imprópria
\int_{-\infty}^{+\infty} \operatorname{sinc}^{2}(t)\,dt
Vou adotar a definição usual em análise matemática (sem normalização por \pi):
\operatorname{sinc}(t)=\frac{\sin t}{t}\quad\text{com}\quad \operatorname{sinc}(0)=1.
Informações relevantes listadas:
  • Queremos a integral de \operatorname{sinc}^2(t)=\left(\dfrac{\sin t}{t}\right)^2 para t variando em todo o eixo real.
  • Vou usar transformada de Fourier e o teorema de Parseval/Plancherel para funções de quadrado-integrável, porque isso torna a conta direta.

Passo 2

Explico a estratégia e as definições que vou usar (tudo passo a passo, sem pular etapas).
Definimos a transformada de Fourier de uma função f por
F(\omega)=\mathcal{F}\{f\}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,e^{-i\omega t}\,dt.
A transformada inversa é
f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F(\omega)\,e^{i\omega t}\,d\omega.
O teorema de Parseval (ou Plancherel) diz que, para f com quadrado-integrável,
\int_{-\infty}^{\infty} |f(t)|^{2}\,dt = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} |F(\omega)|^{2}\,d\omega,
onde F(\omega) é a transformada de Fourier de f. Aqui t é a variável no domínio do tempo/espaço e \omega é a variável de frequência; o fator 1/(2\pi) vem da convenção escolhida acima.

Passo 3

Calculo a transformada de Fourier de f(t)=\operatorname{sinc}(t)=\dfrac{\sin t}{t}\). Vou construir \(f\) a partir de uma função simples no domínio da frequência: considere a função retângulo \[G(\omega)=\begin{cases} 1, & |\omega|<1,\\[4pt] 0, & |\omega|>1, \end{cases}
(Os valores nos pontos de fronteira \omega=\pm1\] não importam para integrais e podem ser dados arbitrariamente.) Usando a fórmula da transformada inversa com \[F(\omega)=G(\omega) obtemos
g(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-1}^{1} e^{i\omega t}\,d\omega.
Faço essa integral explicitamente:
\int_{-1}^{1} e^{i\omega t}\,d\omega = \left.\frac{e^{i\omega t}}{i t}\right|_{-1}^{1} = \frac{e^{i t}-e^{-i t}}{i t} = \frac{2\sin t}{t}.
Portanto
g(t)=\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{2\sin t}{t}=\frac{1}{\pi}\,\frac{\sin t}{t}=\frac{1}{\pi}\operatorname{sinc}(t).
Isso mostra que g(t)=\dfrac{1}{\pi}\operatorname{sinc}(t) é a transformada inversa de G(\omega). Invertendo a relação (isto é, aplicando a transformada direta), obtemos que a transformada de Fourier de \operatorname{sinc}(t) é
F(\omega)=\mathcal{F}\{\operatorname{sinc}\}( \omega )=\pi\cdot G(\omega)= \begin{cases} \pi, & |\omega|<1,\\[4pt] 0, & |\omega|>1. \end{cases}
Em palavras: a transformada de \dfrac{\sin t}{t}\] é a função retângulo de altura \(\pi no intervalo (-1,1).]

Passo 4

Agora aplico o teorema de Parseval para f(t)=\operatorname{sinc}(t). Pelo teorema,
\int_{-\infty}^{\infty} \left|\operatorname{sinc}(t)\right|^{2}\,dt = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \big|F(\omega)\big|^{2}\,d\omega.
Substituo F(\omega) que encontrei no passo anterior: \big|F(\omega)\big|^{2}=\pi^{2} quando |\omega|<1 e 0 fora.

Passo 5

Calculo a integral no lado direito explicitamente:
\int_{-\infty}^{\infty} \big|F(\omega)\big|^{2}\,d\omega = \int_{-1}^{1} \pi^{2}\,d\omega = \pi^{2}\cdot (1-(-1)) = \pi^{2}\cdot 2 = 2\pi^{2}.
Multiplicando pelo fator 1/(2\pi) de Parseval:
\frac{1}{2\pi}\cdot 2\pi^{2}=\pi.

Passo 6

Concluo que
\int_{-\infty}^{\infty} \operatorname{sinc}^{2}(t)\,dt = \pi.
Comentário amigável: a ideia-chave foi reconhecer que \operatorname{sinc}(t)=\sin t/t tem transformada de Fourier igual a uma função retângulo (de altura \pi em (-1,1)), e então usar Parseval para transformar a integral de quadrado em uma integral simples sobre um intervalo finito.

Resposta

\pi

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