Determine o valor das integrais
\quad \int_{-\infty}^{+\infty} \operatorname{sinc}(t) d t

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral imprópria
\int_{-\infty}^{+\infty} \operatorname{sinc}(t)\,dt.
Informações relevantes que vamos usar (assumindo a definição padrão mais comum neste tipo de exercício): \operatorname{sinc}(t)=\dfrac{\sin t}{t} para t\neq 0 e por continuidade \operatorname{sinc}(0)=1. A integral é imprópria porque os limites de integração são -\infty e +\infty e porque o integrando tem singularidade removível em t=0; precisamos tratar ambos. A pergunta é: qual é o valor numérico dessa integral?

Passo 2

Observação sobre simetria (importante para simplificar): a função \operatorname{sinc}(t)=\dfrac{\sin t}{t} é uma função par, ou seja,
\operatorname{sinc}(-t)=\frac{\sin(-t)}{-t}=\frac{-\sin t}{-t}=\frac{\sin t}{t}=\operatorname{sinc}(t).
Por ser par, a integral sobre a reta inteira é o dobro da integral sobre [0,\infty):
\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin t}{t}\,dt = 2\int_{0}^{\infty}\frac{\sin t}{t}\,dt.
Portanto basta calcular a integral de 0 a +\infty.

Passo 3

Técnica escolhida: introduzimos um parâmetro a>0 e consideramos a família de integrais com amortecimento exponencial
J(a)=\int_{0}^{\infty} e^{-a t}\,\frac{\sin t}{t}\,dt.
A ideia é calcular J(a) para a>0 (onde a integral converge facilmente) e depois obter o caso desejado fazendo a\to 0^+. Esse procedimento (diferenciação sob o sinal integral e limite a\to0^+) é legitimado pelo fato de que e^{-a t} garante convergência e permite trocar derivada e integral por argumentos de convergência dominada (não vou entrar em teoremas formais aqui, mas fisicamente é seguro nesse caso).

Passo 4

Calculemos a derivada de J(a) em relação a a. Diferenciando por a sob o sinal integral (válido porque o integrando é suave e integrável com o fator e^{-at}):
J'(a)=\frac{d}{da}\int_{0}^{\infty} e^{-a t}\,\frac{\sin t}{t}\,dt = \int_{0}^{\infty} \frac{\partial}{\partial a}\Big( e^{-a t}\,\frac{\sin t}{t}\Big)\,dt.
Calculando a derivada interior:
\frac{\partial}{\partial a}\Big( e^{-a t}\,\frac{\sin t}{t}\Big) = -t\,e^{-a t}\,\frac{\sin t}{t} = -e^{-a t}\sin t.
Logo
J'(a) = -\int_{0}^{\infty} e^{-a t}\sin t\,dt.

Passo 5

Agora calculamos a integral conhecida
\int_{0}^{\infty} e^{-a t}\sin t\,dt.
Podemos usar a fórmula padrão (obtida por integrar a função exponencial complexa ou por partes): para a>0,
\int_{0}^{\infty} e^{-a t}\sin(bt)\,dt = \frac{b}{a^{2}+b^{2}}.
No nosso caso b=1, então
\int_{0}^{\infty} e^{-a t}\sin t\,dt = \frac{1}{a^{2}+1}.
Portanto, usando o passo anterior,
J'(a) = -\frac{1}{a^{2}+1}.

Passo 6

Integramos a expressão para J'(a) em a. Uma primitiva de -\dfrac{1}{a^{2}+1} é -\arctan(a). Assim
J(a) = -\arctan(a) + C,
onde C é constante independente de a. Precisamos determinar C por uma condição conhecida.

Passo 7

Obtemos C observando o comportamento de J(a) quando a\to +\infty. Para a muito grande, o fator e^{-a t} faz a integral tender a zero, isto é J(a)\to 0 quando a\to +\infty. Agora calcule o limite da expressão obtida:
\lim_{a\to+\infty}\big(-\arctan(a)+C\big)= -\frac{\pi}{2}+C.
Como sabemos que esse limite deve ser 0, concluímos
-\frac{\pi}{2}+C=0 \quad\Rightarrow\quad C=\frac{\pi}{2}.
Portanto
J(a)=\frac{\pi}{2}-\arctan(a).

Passo 8

Voltamos ao objetivo: queremos \displaystyle \int_{0}^{\infty}\frac{\sin t}{t}\,dt, que é J(0^+). Fazendo a\to 0^+ em J(a) obtemos
\int_{0}^{\infty}\frac{\sin t}{t}\,dt = J(0^+) = \frac{\pi}{2}-\arctan(0)=\frac{\pi}{2}.

Passo 9

Lembrando do passo 2 (simetria par), a integral sobre toda a reta é o dobro do resultado anterior:
\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin t}{t}\,dt = 2\cdot\frac{\pi}{2}=\pi.

Resposta

\pi

Exercícios relacionados