Determine o valor das integrais
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral imprópria
Informações relevantes que vamos usar (assumindo a definição padrão mais comum neste tipo de exercício):
para
e por continuidade
. A integral é imprópria porque os limites de integração são
e
e porque o integrando tem singularidade removível em
; precisamos tratar ambos. A pergunta é: qual é o valor numérico dessa integral?
Passo 2
Observação sobre simetria (importante para simplificar): a função
é uma função par, ou seja,
Por ser par, a integral sobre a reta inteira é o dobro da integral sobre
:
Portanto basta calcular a integral de
a
.
Passo 3
Técnica escolhida: introduzimos um parâmetro
e consideramos a família de integrais com amortecimento exponencial
A ideia é calcular
para
(onde a integral converge facilmente) e depois obter o caso desejado fazendo
. Esse procedimento (diferenciação sob o sinal integral e limite
) é legitimado pelo fato de que
garante convergência e permite trocar derivada e integral por argumentos de convergência dominada (não vou entrar em teoremas formais aqui, mas fisicamente é seguro nesse caso).
Passo 4
Calculemos a derivada de
em relação a
. Diferenciando por
sob o sinal integral (válido porque o integrando é suave e integrável com o fator
):
Calculando a derivada interior:
Logo
Passo 5
Agora calculamos a integral conhecida
Podemos usar a fórmula padrão (obtida por integrar a função exponencial complexa ou por partes): para
,
No nosso caso
, então
Portanto, usando o passo anterior,
Passo 6
Integramos a expressão para
em
. Uma primitiva de
é
. Assim
onde
é constante independente de
. Precisamos determinar
por uma condição conhecida.
Passo 7
Obtemos
observando o comportamento de
quando
. Para
muito grande, o fator
faz a integral tender a zero, isto é
quando
. Agora calcule o limite da expressão obtida:
Como sabemos que esse limite deve ser
, concluímos
Portanto
Passo 8
Voltamos ao objetivo: queremos
, que é
. Fazendo
em
obtemos
Passo 9
Lembrando do passo 2 (simetria par), a integral sobre toda a reta é o dobro do resultado anterior: