Exercício 10: Determine
a) y(t)=\frac{1}{\pi t} * \operatorname{sinc}(t)
b) \quad \int_{-\infty}^{+\infty}|y(t)|^{2} d t, com y(t) dado no item anterior.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
a) Calcular y(t) onde
y(t)=\frac{1}{\pi t} * \operatorname{sinc}(t).
b) Calcular a energia
\int_{-\infty}^{+\infty}|y(t)|^{2}\,dt,
com y(t) obtido no item (a).
Informações dadas e coisas que vamos usar explicitamente:
\operatorname{sinc}(t)=\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}.
A operação * é a convolução temporal definida por
(f*g)(t)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau.

Passo 2

Escolha do método: fazer a convolução diretamente na forma integral dá um integral de valor principal que é chato de manipular. É muito mais prático usar transformada de Fourier, porque convolução no tempo vira produto no domínio da frequência. Vou usar a transformada de Fourier contínua com a convenção
F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,e^{-j\omega t}\,dt
e a inversa
f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F(\omega)\,e^{j\omega t}\,d\omega.
Com essa convenção vale a propriedade de convolução:
\mathcal{F}\{f*g\}(\omega)=\mathcal{F}\{f\}(\omega)\cdot\mathcal{F}\{g\}(\omega).
Também usarei o teorema de Parseval/Plancherel na forma
\int_{-\infty}^{\infty} |f(t)|^{2}\,dt=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} |F(\omega)|^{2}\,d\omega.

Passo 3

Calcular a transformada de Fourier de \frac{1}{\pi t}.
É um par bem conhecido (interpretação em valor principal): a transformada da função núcleo de Hilbert \dfrac{1}{\pi t} é
\mathcal{F}\left\{\frac{1}{\pi t}\right\}(\omega)=-j\,\operatorname{sgn}(\omega),
onde a função sinal é definida por
\operatorname{sgn}(\omega)=\begin{cases} 1,&\omega>0,\\[4pt] 0,&\omega=0,\\[4pt] -1,&\omega<0. \end{cases}
(Essa identidade é padrão em teoria de sinais e pode ser entendida como resultado em valor principal.)]

Passo 4

Calcular a transformada de Fourier de \operatorname{sinc}(t)=\dfrac{\sin(\pi t)}{\pi t}.
Também é um par básico:
\mathcal{F}\{\operatorname{sinc}(t)\}(\omega)=\operatorname{rect}\!\left(\frac{\omega}{2\pi}\right),
onde a função retângulo vale 1 para |\omega|<\pi e 0 fora desse intervalo (valores nas fronteiras não importam para integrais). Ou seja,
\mathcal{F}\{\operatorname{sinc}(t)\}(\omega)=\begin{cases} 1,&|\omega|<\pi,\\[4pt] 0,&|\omega|>\pi. \end{cases}]

Passo 5

Produto no domínio da frequência: pelas propriedades da transformada e da convolução,
Y(\omega)=\mathcal{F}\{y(t)\}(\omega)=\mathcal{F}\left\{\frac{1}{\pi t}\right\}(\omega)\cdot\mathcal{F}\{\operatorname{sinc}(t)\}(\omega).
Substituindo os resultados dos passos anteriores,
Y(\omega) = -j\,\operatorname{sgn}(\omega)\,\operatorname{rect}\!\left(\frac{\omega}{2\pi}\right).
Como \operatorname{rect}(\omega/(2\pi))\) limita a banda a \(|\omega|<\pi\), podemos escrever explicitamente \[Y(\omega)=\begin{cases} -j,&0<\omega<\pi,\\[4pt] j,&-\,\pi<\omega<0,\\[4pt] 0,&|\omega|>\pi, \end{cases}
(e no (\omega=0] o valor pontual não afeta integrais).]

Passo 6

Inverter a transformada para obter y(t).
Usamos a inversa
y(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} Y(\omega)\,e^{j\omega t}\,d\omega =\frac{1}{2\pi}\left(\int_{-\,\pi}^{0} j\,e^{j\omega t}\,d\omega + \int_{0}^{\pi} (-j)\,e^{j\omega t}\,d\omega\right).
Calcule as integrais (para t\neq 0; depois tratamos t=0 por continuidade):
Primeira integral:
\int_{-\,\pi}^{0} j\,e^{j\omega t}\,d\omega = j\left[\frac{e^{j\omega t}}{j t}\right]_{\omega=-\pi}^{\omega=0} = \frac{1-e^{-j\pi t}}{t}.
Segunda integral:
\int_{0}^{\pi} (-j)\,e^{j\omega t}\,d\omega = -j\left[\frac{e^{j\omega t}}{j t}\right]_{\omega=0}^{\omega=\pi} = -\frac{e^{j\pi t}-1}{t}.
Somando as duas contribuições e multiplicando por \dfrac{1}{2\pi}:
y(t)=\frac{1}{2\pi}\left(\frac{1-e^{-j\pi t}}{t}-\frac{e^{j\pi t}-1}{t}\right) =\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{2- (e^{j\pi t}+e^{-j\pi t})}{t}.
Usando e^{j\pi t}+e^{-j\pi t}=2\cos(\pi t), obtemos
y(t)=\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{2-2\cos(\pi t)}{t} =\frac{1}{\pi}\cdot\frac{1-\cos(\pi t)}{t}.
Podemos reescrever usando a identidade 1-\cos x=2\sin^{2}(x/2):
y(t)=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{\sin^{2}\!\big(\tfrac{\pi t}{2}\big)}{t}.
Tratamento em t=0: calcular o limite t\to0. Expandindo 1-\cos(\pi t)\approx\frac{(\pi t)^{2}}{2} para t pequeno, temos
y(t)\approx\frac{1}{\pi}\cdot\frac{\tfrac{(\pi t)^{2}}{2}}{t}=\frac{\pi t}{2}\to 0.
Também direto pela inversa da transformada: y(0)=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\,\pi}^{\pi} Y(\omega)\,d\omega=0 porque Y(\omega) é ímpar na banda. Então y(0)=0 e a expressão contínua é válida para todo t.
Resumo (forma final conveniente):
\boxed{\,y(t)=\frac{1}{\pi}\cdot\frac{1-\cos(\pi t)}{t}=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{\sin^{2}\!\big(\tfrac{\pi t}{2}\big)}{t}\,.}

Passo 7

Calcular a energia \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}|y(t)|^{2}\,dt usando Parseval.
Pelo teorema de Parseval (veja passo 2),
\int_{-\infty}^{\infty}|y(t)|^{2}\,dt=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|Y(\omega)|^{2}\,d\omega.
No passo 5 vimos que |Y(\omega)|=1 para |\omega|<\pi e |Y(\omega)|=0 fora. Portanto
\int_{-\infty}^{\infty}|Y(\omega)|^{2}\,d\omega=\int_{-\,\pi}^{\pi} 1\,d\omega=2\pi.
Logo
\int_{-\infty}^{\infty}|y(t)|^{2}\,dt=\frac{1}{2\pi}\cdot 2\pi=1.

Resposta

y(t)=\dfrac{1}{\pi}\cdot\dfrac{1-\cos(\pi t)}{t}=\dfrac{2}{\pi}\cdot\dfrac{\sin^{2}\!\big(\tfrac{\pi t}{2}\big)}{t}\n
\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}|y(t)|^{2}\,dt=1

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