Exercício 10: Determine
a) y(t)=\frac{1}{\pi t} * \operatorname{sinc}(t)
b) \quad \int_{-\infty}^{+\infty}|y(t)|^{2} d t, com y(t) dado no item anterior.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
a) Calcular y(t) onde
y(t)=\frac{1}{\pi t} * \operatorname{sinc}(t).
b) Calcular a energia
\int_{-\infty}^{+\infty}|y(t)|^{2}\,dt,
com y(t) obtido no item (a).
Informações dadas e coisas que vamos usar explicitamente:
Escolha do método: fazer a convolução diretamente na forma integral dá um integral de valor principal que é chato de manipular. É muito mais prático usar transformada de Fourier, porque convolução no tempo vira produto no domínio da frequência. Vou usar a transformada de Fourier contínua com a convenção
Como \operatorname{rect}(\omega/(2\pi))\) limita a banda a \(|\omega|<\pi\), podemos escrever explicitamente
\[Y(\omega)=\begin{cases} -j,&0<\omega<\pi,\\[4pt] j,&-\,\pi<\omega<0,\\[4pt] 0,&|\omega|>\pi, \end{cases}
(e no (\omega=0] o valor pontual não afeta integrais).]
Também direto pela inversa da transformada: y(0)=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\,\pi}^{\pi} Y(\omega)\,d\omega=0 porque Y(\omega) é ímpar na banda. Então y(0)=0 e a expressão contínua é válida para todo t.