Determine o valor de \mathbf{L} para que cada uma das funções a seguir sejam contínuas no ponto \mathbf{x}_{\mathbf{0}} dado.
f(x)=\left\{\begin{array}{lll}2 x+1 & \text { se } & x \leq 1 \\\ x+\mathbf{L} & \text { se } & x>1\end{array} \quad, x_{0}=1\right.

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= \begin{cases} 2x+1, & x\le1,\\\ x+L, & x>1, \end{cases}
e pede o valor de L que torne f contínua em x_0=1. Para isso, vamos usar a definição de continuidade: os limites laterais em 1 devem coincidir entre si e com f(1).

Passo 2

Calculamos o valor da função em x=1 vindo pelo ramo da esquerda:
f(1)=2\cdot1+1=3.

Passo 3

Agora, obtemos o limite pela direita em x=1:
\lim_{x\to1^+}f(x)=\lim_{x\to1^+}(x+L)=1+L.

Passo 4

Para continuidade, deve valer
\lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^+}f(x)=f(1),
ou seja,
1+L=3\quad\Longrightarrow\quad L=2.

Resposta

L=2

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