Determine o valor de \mathbf{L} para que cada uma das funções a seguir sejam contínuas no ponto \mathbf{x}_{\mathbf{0}} dado.
f(x)=\left\{\begin{array}{l}2 x-L^{2} \quad \text { se } \quad x \geq 2 \\\\ 4 x+4 L \quad \text { se } \quad x<2\end{array}, x_{0}=2\right.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= \begin{cases} 2x - L^{2},&\text{se }x\ge 2,\\\\ 4x + 4L,&\text{se }x<2, \end{cases}
e pede o valor de L para que f seja contínua em x_{0}=2. Para isso vamos usar a definição de continuidade: o limite pela esquerda em 2 deve ser igual ao limite pela direita em 2 (e a esse valor coincide com f(2)).

Passo 2

Calculamos o limite pela direita em x=2. Como para x\ge2 vale f(x)=2x-L^{2}, temos
\lim_{x\to2^{+}}f(x)=2\cdot 2 - L^{2}=4 - L^{2}.
Esse também é o valor de f(2).

Passo 3

Calculamos o limite pela esquerda em x=2. Para x<2 vale f(x)=4x+4L, então
\lim_{x\to2^{-}}f(x)=4\cdot 2 + 4L =8 + 4L.

Passo 4

Impondo a continuidade, igualamos os dois limites:
4 - L^{2} = 8 + 4L.
Reorganizando,
-L^{2} - 4L -4 =0 \quad\Longrightarrow\quad L^{2} + 4L +4 =0 \quad\Longrightarrow\quad (L+2)^{2}=0.
Logo,
L = -2.

Resposta

L = -2

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