Determine o valor de \mathbf{L} para que cada uma das funções a seguir sejam contínuas no ponto \mathbf{x}_{\mathbf{0}} dado.
f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}x^{2}+1 & \text { se } & |x|<1 \\\ L & \text { se } & |x| \geq 1\end{array}, x_{0}=1\right.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} x^{2}+1,&|x|<1,\\\ L,&|x|\ge1 \end{cases}
e pede para escolher L de modo que f seja contínua em x_{0}=1. Para isso, precisamos que
\lim_{x\to1^-}f(x) =\lim_{x\to1^+}f(x) =f(1).

Passo 2

No ramo |x|\ge1 temos
f(1)=L \quad\text{e}\quad \lim_{x\to1^+}f(x)=L.

Passo 3

No ramo |x|<1 (aproximação pela esquerda) vale f(x)=x^{2}+1, logo
\lim_{x\to1^-}f(x)=1^{2}+1=2.

Passo 4

Para continuidade em x=1 exigimos
\lim_{x\to1^-}f(x) =\lim_{x\to1^+}f(x) =f(1),
ou seja 2=L.

Resposta

L=2

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