Determine o valor médio de uma onda senoidal em um ciclo completo.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o valor médio de uma onda senoidal em um ciclo completo.
Informações dadas (implícitas na pergunta):
  • A onda é senoidal pura, podemos representá‑la genericamente como x(t)=A\sin(\omega t+\varphi), onde:
    • A é a amplitude (um número real),
    • \omega é a frequência angular (rad/s),
    • \varphi é a fase inicial (rad).
  • O “ciclo completo” significa um intervalo de duração igual ao período T da função senoidal.

Passo 2

Definição matemática do valor médio (média temporal) de uma função periódica: para uma função x(t) com período T, o valor médio em um ciclo é
\overline{x}=\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T} x(t)\,dt,
onde t_0 é qualquer instante inicial (a média não depende de t_0 se x for periódica). Vou aplicar essa definição à senóide x(t)=A\sin(\omega t+\varphi).

Passo 3

Lembrar do período da senóide: para x(t)=A\sin(\omega t+\varphi) o período é
T=\frac{2\pi}{\omega}.
Isso vem do fato de que a função seno tem período 2\pi em sua variável angular; quando a variável é \omega t, um aumento de t em 2\pi/\omega repete a função.

Passo 4

Escrever o valor médio usando a definição:
\overline{x}=\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T} A\sin(\omega t+\varphi)\,dt.
Vou calcular essa integral passo a passo.

Passo 5

Calcular a integral indefinida: a primitiva de \sin(\omega t+\varphi) em relação a t é -\dfrac{1}{\omega}\cos(\omega t+\varphi). Portanto
\int_{t_0}^{t_0+T} A\sin(\omega t+\varphi)\,dt = -\frac{A}{\omega}\cos(\omega t+\varphi)\Big|_{t_0}^{t_0+T}.

Passo 6

Avaliar o termo entre colchetes usando a periodicidade do cosseno. Note que
\cos\big(\omega(t_0+T)+\varphi\big)=\cos\big(\omega t_0+\omega T+\varphi\big).
Como \omega T=\omega\cdot\frac{2\pi}{\omega}=2\pi, segue
\cos\big(\omega t_0+\omega T+\varphi\big)=\cos\big(\omega t_0+2\pi+\varphi\big)=\cos\big(\omega t_0+\varphi\big),
porque o cosseno tem período 2\pi. Logo a diferença é zero:
-\frac{A}{\omega}\big[\cos(\omega(t_0+T)+\varphi)-\cos(\omega t_0+\varphi)\big]=-\frac{A}{\omega}( \cos(\omega t_0+\varphi)-\cos(\omega t_0+\varphi))=0.

Passo 7

Substituindo no cálculo do valor médio:
\overline{x}=\frac{1}{T}\cdot 0 = 0.
Portanto o valor médio de uma senoide pura em um ciclo completo é zero. Intuição física: a área positiva do seno num período cancela exatamente a área negativa — a média temporal se anula.

Passo 8

Observação prática útil para prova: se a senóide tiver um deslocamento DC (ou seja, x(t)=A\sin(\omega t+\varphi)+B, com B constante), então o valor médio em um ciclo será simplesmente B, porque a parte senoidal tem média zero e o termo constante contribui com B.

Resposta

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