Determine o valor de Kb para as respectivas reações de equilíbrio:
\quad \mathrm{NH}_{3}+\mathrm{H}_{2} \mathrm{O} \leftrightarrows \mathrm{NH}_{4}^{+}+\mathrm{OH}^{-}sabendo que a constante da base é igual \left(\mathrm{K}_{\mathrm{a}} \mathrm{NH}_{4}^{+}\right)a 5,7 \times 10^{-10}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o valor de K_b para a reação
\mathrm{NH}_{3}+\mathrm{H}_{2}\mathrm{O}\rightleftharpoons \mathrm{NH}_{4}^{+}+\mathrm{OH}^{-}
e fornece que a constante de acidez (para o íon amônio) é \\ K_a(\mathrm{NH}_4^+)=5,7\times10^{-10}. Não foi dada temperatura explicitamente, portanto assumimos a temperatura padrão de laboratório 25^\circ\mathrm{C} para usar o valor usual de K_w. Estas são as informações relevantes:
  • reação cuja K_b queremos: \mathrm{NH}_{3}+\mathrm{H}_{2}\mathrm{O}\rightleftharpoons \mathrm{NH}_{4}^{+}+\mathrm{OH}^{-};
  • dado: \\ K_a(\mathrm{NH}_4^+)=5,7\times10^{-10};
  • assumiremos \\ K_w=1,0\times10^{-14} (valor a 25^\circ\mathrm{C}).

Passo 2

Entendendo o que é K_a e K_b (aula rápida, sem medo):
  • K_a é a constante de acidez de um ácido conjugado; ela mede a tendência do ácido de doar um próton. Para o íon amônio a reação de ácido é
\mathrm{NH}_4^{+}+\mathrm{H}_2\mathrm{O}\rightleftharpoons \mathrm{NH}_3+\mathrm{H}_3\mathrm{O}^{+}.
A expressão de K_a é a razão entre as concentrações dos produtos e reagentes (em equilíbrio), excluindo a água pura:
K_a=\frac{[\mathrm{NH}_3][\mathrm{H}_3\mathrm{O}^+]}{[\mathrm{NH}_4^+]}.
  • K_b é a constante de basicidade de uma base (aqui a amônia). Para a base a reação é a que o enunciado deu:
\mathrm{NH}_{3}+\mathrm{H}_{2}\mathrm{O}\rightleftharpoons \mathrm{NH}_{4}^{+}+\mathrm{OH}^{-},
e a expressão de K_b é
K_b=\frac{[\mathrm{NH}_4^+][\mathrm{OH}^-]}{[\mathrm{NH}_3]}.
A lição útil: ácido conjugado/base conjugada têm constantes relacionadas. Vamos ver como.

Passo 3

Derivando a relação entre K_a e K_b: multiplicando as duas expressões K_a e K_b obtemos
K_a\cdot K_b=\frac{[\mathrm{NH}_3][\mathrm{H}_3\mathrm{O}^+]}{[\mathrm{NH}_4^+]}\cdot\frac{[\mathrm{NH}_4^+][\mathrm{OH}^-]}{[\mathrm{NH}_3]}.
No lado direito os fatores [\mathrm{NH}_3] e [\mathrm{NH}_4^+] se cancelam, ficando
K_a\cdot K_b=[\mathrm{H}_3\mathrm{O}^+][\mathrm{OH}^-].
Mas [\mathrm{H}_3\mathrm{O}^+][\mathrm{OH}^-] é exatamente a constante de ionização da água, ou seja
K_a\cdot K_b=K_w.
Portanto, para um par conjugado ácido/base vale a relação fundamental
K_b=\frac{K_w}{K_a}.

Passo 4

Valor numérico de K_w: à 25^\circ\mathrm{C} usamos \\ K_w=1,0\times10^{-14}. Agora substituímos o K_a fornecido:
K_b=\frac{1,0\times10^{-14}}{5,7\times10^{-10}}.

Passo 5

Fazendo a conta passo a passo (para poder replicar na prova sem calculadora): separamos a parte numérica e a parte das potências de dez,
K_b=\left(\frac{1,0}{5,7}\right)\times10^{-14-(-10)}=\left(\frac{1,0}{5,7}\right)\times10^{-4}.
Calculando a fração \frac{1,0}{5,7}: \frac{1,0}{5,7}\approx0,1754386. Logo
K_b\approx0,1754386\times10^{-4}=1,754386\times10^{-5}.

Passo 6

Arredondamento e significativa: o valor de K_a foi dado com duas casas significativas ( 5,7\times10^{-10}), então é razoável apresentar K_b com duas casas significativas também. Assim
K_b\approx1,8\times10^{-5}.
Dica amiga: se quiser manter mais precisão para cálculos posteriores, use 1,75\times10^{-5}, mas na resposta da prova normalmente 1,8\times10^{-5} está ok.

Resposta

K_b=1,8\times10^{-5}

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