Determine o valor das seguintes integrais, se possível.
Encontre, se existir, o valor de cada uma das seguintes integrais:
\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x}}\,dx,
ou seja \int_{0}^{1}(1-x)^{-1/2}dx. O conteúdo é integrais impróprias e uso de substituição para integrandos na forma de potência.

Passo 2

Note que em x=1 o integrando (1-x)^{-1/2} tende a infinito, caracterizando uma integral imprópria. Vamos reescrever a expressão como potência:
(1-x)^{-1/2}.

Passo 3

Fazemos a substituição
u = 1 - x \quad\Longrightarrow\quad du = -dx.
Quando x=0, u=1; quando x=1, u=0. Logo,
\int_{0}^{1}(1-x)^{-1/2}dx =\int_{u=1}^{0}u^{-1/2}(-du) =\int_{0}^{1}u^{-1/2}du.

Passo 4

Aplicamos a regra da potência para integrar:
\int u^{-1/2}du =\frac{u^{(-1/2)+1}}{(-1/2)+1} =\frac{u^{1/2}}{1/2} =2\,u^{1/2}+C.
Agora avaliaremos de u=0 a u=1.

Passo 5

Substituindo os limites na antiderivada:
2\sqrt{u}\Big|_{0}^{1} =2\bigl(\sqrt{1}-\sqrt{0}\bigr) =2(1-0) =2.

Resposta

2

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