Determine o valor das seguintes integrais, se possível.
Encontre, se existir, o valor de cada uma das seguintes integrais:
\int_{-2}^{+\infty} \frac{1}{(x+1)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{-2}^{+\infty} \frac{1}{(x+1)^{2}}\,dx
O conteúdo aqui é integrais impróprias com ponto de descontinuidade em x=-1 (vertical assíntota) e limite superior infinito. Vamos precisar:
  1. Reconhecer a singularidade em x=-1.
  2. Dividir a integral em dois trechos apropriados.
  3. Usar a primitiva \displaystyle F(x)=-\frac{1}{x+1} para avaliar cada trecho como limite.

Passo 2

Identificamos que a função \frac1{(x+1)^2} explode em x=-1. Logo escrevemos
\int_{-2}^{+\infty} \frac{1}{(x+1)^{2}}\,dx = \int_{-2}^{-1} \frac{1}{(x+1)^{2}}\,dx + \int_{-1}^{+\infty} \frac{1}{(x+1)^{2}}\,dx.

Passo 3

A primitiva de \frac1{(x+1)^2} é
F(x)=-\frac{1}{x+1}.

Passo 4

Calculamos o primeiro trecho como limite:
\int_{-2}^{-1}\frac{1}{(x+1)^2}\,dx =\lim_{a\to(-1)^-}\Bigl[F(a)-F(-2)\Bigr] =\lim_{a\to(-1)^-}\Bigl(-\tfrac1{a+1}-\bigl(-\tfrac1{-2+1}\bigr)\Bigr) =\lim_{a\to(-1)^-}\Bigl(-\tfrac1{a+1}-1\Bigr).
Quando a\to-1^-, a+1\to0^- e -\tfrac1{a+1}\to +\infty. Portanto esse trecho diverge para +\infty.
Não há necessidade de avaliar o segundo trecho, pois já temos divergência.

Resposta

A integral diverge (não existe valor finito).

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