Calcule, se possível, as seguintes integrais impróprias:
\int_{-\infty}^{\frac{\pi}{2}} \sin (2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a integral imprópria
\int_{-\infty}^{\frac{\pi}{2}} \sin(2x)\,dx.
Trata-se de uma integral imprópria porque o limite inferior tende a -\infty. Vamos usar a definição
\int_{-\infty}^{\frac{\pi}{2}} \sin(2x)\,dx = \lim_{a\to -\infty}\int_{a}^{\frac{\pi}{2}}\sin(2x)\,dx,
e verificar se esse limite existe e é finito.

Passo 2

Calcular uma antiderivada de \sin(2x). Usamos a regra básica
\int \sin(2x)\,dx = -\frac{1}{2}\cos(2x) + C.

Passo 3

Aplicar o teorema fundamental do cálculo ao intervalo [a,\tfrac{\pi}{2}]:
\int_{a}^{\frac{\pi}{2}}\sin(2x)\,dx =\Bigl[-\tfrac12\cos(2x)\Bigr]_{x=a}^{x=\frac{\pi}{2}} =-\tfrac12\cos\bigl(\pi\bigr)+\tfrac12\cos(2a) =\tfrac12+\tfrac12\cos(2a).
Então
\int_{-\infty}^{\frac{\pi}{2}}\sin(2x)\,dx =\lim_{a\to -\infty}\Bigl(\tfrac12+\tfrac12\cos(2a)\Bigr).

Passo 4

Analisar o limite \lim_{a\to -\infty}\bigl(\tfrac12+\tfrac12\cos(2a)\bigr). Como \cos(2a) oscila entre -1 e 1 quando a\to -\infty, esse limite não se estabiliza num valor único. Logo, a integral diverge por oscilação.

Resposta

A integral \displaystyle \int_{-\infty}^{\frac{\pi}{2}}\sin(2x)\,dx diverge (não converge).

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