Determine o valor de m e n para que os três planos \pi_{1}:-x+2 y-3 z+5=0, \pi_{2}: 2 x-4 y-4 z+7=0 e \pi_{3}: m x-2 y-17 z+n=0 tenham um único ponto em comum.
Escolha uma opçåo:
◯ a. m=7 e n \neq-1
◯ b. m=1 e n=29
◯ c. m=1 e n \neq 29
◯ d. m \neq 7 e n qualquer valor real
◯ e. m=7 e n=-1
◯ f. m \neq 1 e n qualquer valor real
Passo 1
Vou identificar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
Os três planos são
\pi_{1}:\\\ -x+2y-3z+5=0,
\pi_{2}:\\\ 2x-4y-4z+7=0,
\pi_{3}:\\ mx-2y-17z+n=0.
O que o enunciado pede: determinar os valores de m e n para que os três planos tenham um único ponto em comum (ou seja, exista exatamente uma solução comum (x,y,z) que satisfaça as três equações simultaneamente).
Informação relevante extraída: os coeficientes das incógnitas nas três equações são, em ordem (x,y,z),
para \pi_{1}: (-1,\,2,\,-3),
para \pi_{2}: (2,\,-4,\,-4),
para \pi_{3}: (m,\,-2,\,-17).
A resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Conceito chave (explicado devagar): representar o sistema das três equações como um sistema linear do tipo A\mathbf{v}=\mathbf{b}, onde A é a matriz dos coeficientes, \mathbf{v}=(x,y,z)^{T} e \mathbf{b} é o vetor dos termos constantes (com os sinais trocados quando necessário). Aqui
Regra importante: um sistema linear quadrado A\mathbf{v}=\mathbf{b} tem uma única solução para qualquer \mathbf{b} se, e somente se, a matriz A for invertível. Uma condição prática para A ser invertível é
\det(A)\neq 0.
Portanto, para que os três planos tenham um único ponto em comum basta exigir \det(A)\neq 0. Observe: se \det(A)\neq 0 isso vale independentemente do vetor \mathbf{b} (ou seja, independentemente de n); haverá sempre exatamente uma solução.]
Passo 3
Vamos calcular \det(A). Escrevo A de novo para referência:
Se \det(A)\neq 0 então existe exatamente um ponto comum. Como \det(A)=20(1-m), temos \det(A)\neq 0 exatamente quando 1-m\neq 0, ou seja quando
m\neq 1.
Quando m\neq 1 o determinante é diferente de zero e, portanto, para qualquer valor de n (qualquer \mathbf{b}) existe uma única solução (x,y,z). Logo n não restringe a unicidade quando m\neq 1.
Quando m=1 temos \det(A)=0 e a matriz de coeficientes não é invertível; nesse caso não pode haver uma única solução para todos os valores de n — pode haver nenhuma solução ou infinitas soluções dependendo de n, mas nunca “exatamente uma” para m=1.
Portanto, a condição necessária e suficiente para os três planos terem um único ponto em comum é m\neq 1, sem restrição em n.