Determine o valor de m e n para que os três planos \pi_{1}:-x+2 y-3 z+5=0, \pi_{2}: 2 x-4 y-4 z+7=0 e \pi_{3}: m x-2 y-17 z+n=0 tenham um único ponto em comum.
Escolha uma opçåo:
◯ a. m=7 e n \neq-1
◯ b. m=1 e n=29
◯ c. m=1 e n \neq 29
◯ d. m \neq 7 e n qualquer valor real
◯ e. m=7 e n=-1
◯ f. m \neq 1 e n qualquer valor real

Passo 1

Vou identificar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
  • Os três planos são
\pi_{1}:\\\ -x+2y-3z+5=0,
\pi_{2}:\\\ 2x-4y-4z+7=0,
\pi_{3}:\\ mx-2y-17z+n=0.
  • O que o enunciado pede: determinar os valores de m e n para que os três planos tenham um único ponto em comum (ou seja, exista exatamente uma solução comum (x,y,z) que satisfaça as três equações simultaneamente).
  • Informação relevante extraída: os coeficientes das incógnitas nas três equações são, em ordem (x,y,z),
    • para \pi_{1}: (-1,\,2,\,-3),
    • para \pi_{2}: (2,\,-4,\,-4),
    • para \pi_{3}: (m,\,-2,\,-17).
A resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Conceito chave (explicado devagar): representar o sistema das três equações como um sistema linear do tipo A\mathbf{v}=\mathbf{b}, onde A é a matriz dos coeficientes, \mathbf{v}=(x,y,z)^{T} e \mathbf{b} é o vetor dos termos constantes (com os sinais trocados quando necessário). Aqui
A=\begin{pmatrix} -1 & 2 & -3\\[4pt] 2 & -4 & -4\\[4pt] m & -2 & -17 \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}-5\\[4pt]-7\\[4pt]-n\end{pmatrix}.
Regra importante: um sistema linear quadrado A\mathbf{v}=\mathbf{b} tem uma única solução para qualquer \mathbf{b} se, e somente se, a matriz A for invertível. Uma condição prática para A ser invertível é
\det(A)\neq 0.
Portanto, para que os três planos tenham um único ponto em comum basta exigir \det(A)\neq 0. Observe: se \det(A)\neq 0 isso vale independentemente do vetor \mathbf{b} (ou seja, independentemente de n); haverá sempre exatamente uma solução.]

Passo 3

Vamos calcular \det(A). Escrevo A de novo para referência:
A=\begin{pmatrix} -1 & 2 & -3\\[4pt] 2 & -4 & -4\\[4pt] m & -2 & -17 \end{pmatrix}.
Vou expandir o determinante pela primeira linha (cofatores). A fórmula é
\det(A)=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13},
onde C_{1j}=(-1)^{1+j} vezes o determinante do menor correspondente. Para cada termo:
  • Para a_{11}=-1, o menor é \begin{pmatrix}-4 & -4\\\\ -2 & -17\end{pmatrix} e seu determinante é (-4)(-17)-(-4)(-2).
  • Para a_{12}=2, o cofator tem sinal negativo e o menor é \begin{pmatrix}2 & -4\\\ m & -17\end{pmatrix}.
  • Para a_{13}=-3, o cofator tem sinal positivo e o menor é \begin{pmatrix}2 & -4\\\ m & -2\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calculo os determinantes dos menores passo a passo:
  • Primeiro menor:
\det\begin{pmatrix}-4 & -4\\\\ -2 & -17\end{pmatrix}=(-4)(-17)-(-4)(-2)=68-8=60.
  • Segundo menor:
\det\begin{pmatrix}2 & -4\\\ m & -17\end{pmatrix}=2(-17)-(-4)m=-34+4m=4m-34.
Lembrando que o cofator associado a a_{12}=2 traz um sinal negativo.
  • Terceiro menor:
\det\begin{pmatrix}2 & -4\\\ m & -2\end{pmatrix}=2(-2)-(-4)m=-4+4m=4m-4.
Agora monto a expansão:
\det(A)=(-1)\cdot 60 + 2\cdot\bigl(- (4m-34)\bigr) + (-3)\cdot(4m-4).

Passo 5

Continuo as contas com cuidado:
\det(A)=-60 + 2(-4m+34) + (-3)(4m-4).
\det(A)=-60 -8m+68 -12m+12.
Agrupando termos:
\det(A)=(-60+68+12)+(-8m-12m)=20-20m.
Fatorando:
\det(A)=20(1-m).

Passo 6

Interpretação do resultado:
  • Se \det(A)\neq 0 então existe exatamente um ponto comum. Como \det(A)=20(1-m), temos \det(A)\neq 0 exatamente quando 1-m\neq 0, ou seja quando
m\neq 1.
  • Quando m\neq 1 o determinante é diferente de zero e, portanto, para qualquer valor de n (qualquer \mathbf{b}) existe uma única solução (x,y,z). Logo n não restringe a unicidade quando m\neq 1.
  • Quando m=1 temos \det(A)=0 e a matriz de coeficientes não é invertível; nesse caso não pode haver uma única solução para todos os valores de n — pode haver nenhuma solução ou infinitas soluções dependendo de n, mas nunca “exatamente uma” para m=1.
Portanto, a condição necessária e suficiente para os três planos terem um único ponto em comum é m\neq 1, sem restrição em n.

Resposta

f. m\neq 1 e n qualquer valor real

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