O ângulo entre a reta r: X=(1,2,3)+\lambda(2,1,3), \lambda \in \mathbb{R} e a reta s: X=(2,-1,4)+\gamma(2,4,-3), \gamma \in \mathbb{R} é:
Escolha uma opçåo:
◯ a. 37,43^{\circ}
◯ b. 63,47^{\circ}
◯ c. 87,16^{\circ}
◯ d. 32,47^{\circ}
◯ e. 78,55^{\circ}

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre duas retas dadas em forma paramétrica. As informações fornecidas são:
  • Reta r: X=(1,2,3)+\lambda(2,1,3),\\ \lambda\in\mathbb{R}.
  • Reta s: X=(2,-1,4)+\gamma(2,4,-3),\\ \gamma\in\mathbb{R}.
O que se pede exatamente: calcular o ângulo entre as retas r e s e escolher a alternativa correta entre as opções dadas.

Passo 2

Para calcular o ângulo entre duas retas em \mathbb{R}^3 usamos os vetores diretores dessas retas. O ângulo entre as retas é o mesmo que o ângulo entre seus vetores diretores, e a fórmula que relaciona o produto escalar com o ângulo é:
\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}=\|\mathbf{v}\|\,\|\mathbf{w}\|\cos\theta,
onde:
  • \mathbf{v}\cdot\mathbf{w} é o produto escalar entre os vetores \mathbf{v} e \mathbf{w};
  • \|\mathbf{v}\| e \|\mathbf{w}\| são as normas (comprimentos) desses vetores;
  • \theta é o ângulo entre eles, 0\le\theta\le\pi.
Da equação acima isolamos \cos\theta:
\cos\theta=\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}}{\|\mathbf{v}\|\,\|\mathbf{w}\|}.
Como geralmente queremos o menor ângulo entre as retas (ângulo agudo), podemos usar o valor absoluto do numerador para garantir \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}]:
\cos\theta=\frac{\lvert\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}\rvert}{\|\mathbf{v}\|\,\|\mathbf{w}\|}.

Passo 3

Identificar os vetores diretores pegando-os das formas paramétricas:
  • Vetor diretor de r: \mathbf{v}=(2,1,3).
  • Vetor diretor de s: \mathbf{w}=(2,4,-3).
Calcular o produto escalar \mathbf{v}\cdot\mathbf{w}:
\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}=2\cdot2+1\cdot4+3\cdot(-3)=4+4-9=-1.

Passo 4

Calcular as normas \|\mathbf{v}\| e \|\mathbf{w}\| (norma euclidiana):
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{2^2+1^2+3^2}=\sqrt{4+1+9}=\sqrt{14},
\|\mathbf{w}\|=\sqrt{2^2+4^2+(-3)^2}=\sqrt{4+16+9}=\sqrt{29}.

Passo 5

Calcular \cos\theta usando o valor absoluto do produto escalar para obter o ângulo agudo:
\cos\theta=\frac{\lvert -1\rvert}{\sqrt{14}\,\sqrt{29}}=\frac{1}{\sqrt{14\cdot29}}=\frac{1}{\sqrt{406}}.
Converter para valor numérico aproximado para achar \theta:
\sqrt{406}\approx20,149441\quad\Rightarrow\quad\cos\theta\approx0,049627.
Agora \theta=\operatorname{arccos}(0,049627). Em graus:
\theta\approx87,16^\circ.

Passo 6

Interpretação final e verificação das opções: o valor calculado \theta\approx87,16^\circ corresponde à alternativa (c).

Resposta

c. 87,16^\circ

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