Determine o valor de \underline{\mathbf{k}} de modo que o sistema \left\{\begin{array}{l}x+2 y=1 \\\\ 4 x+8 y=k\end{array}\right. seja impossível. Isto é, para que a representação geométrica da solução sejam retas paralelas distintas.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\begin{cases} x + 2y = 1,\\\\ 4x + 8y = k, \end{cases}
e pede o valor de k para que ele seja impossível, isto é, para que as duas retas sejam paralelas e distintas. O conteúdo aqui é reconhecer que um sistema 2×2 não tem solução quando os coeficientes das variáveis são proporcionais (retas paralelas) mas o termo independente não mantém essa proporcionalidade.

Passo 2

Identificamos os coeficientes: na primeira equação temos a_1=1, b_1=2, c_1=1; na segunda, a_2=4, b_2=8, c_2=k. Calculamos as razões
\frac{a_2}{a_1} = \frac{4}{1} = 4, \qquad \frac{b_2}{b_1} = \frac{8}{2} = 4.
Como \tfrac{a_2}{a_1} = \tfrac{b_2}{b_1}, as retas são paralelas ou coincidentes.

Passo 3

Para que sejam paralelas mas não coincidentes (ou seja, sistema impossível), devemos ter
\frac{c_2}{c_1} = \frac{k}{1} \neq 4.
Assim, a igualdade das razões dos coeficientes não pode se estender ao termo inde­pendente.

Resposta

k \neq 4

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