Determine o valor de \underline{\mathbf{a}} para que o sistema \left\{\begin{array}{l}a x-y=8 \\\\ 2 x+4 y=6\end{array}\right. seja possível e determinado.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
\begin{cases} a x - y = 8,\\\\ 2x + 4y = 6, \end{cases}
e pede os valores de \underline{\mathbf{a}} para que o sistema seja possível e determinado. Sabemos que, em sistemas lineares, isso ocorre exatamente quando a matriz dos coeficientes é invertível, ou seja, seu determinante é diferente de zero.

Passo 2

Vamos escrever a matriz dos coeficientes e o vetor de termos independentes:
A = \begin{pmatrix} a & -1\\\\ 2 & 4 \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix} 8\\\\ 6 \end{pmatrix}.

Passo 3

O critério de existência e unicidade (teorema de Rouché–Capelli ou determinantes) diz que o sistema tem solução única se e somente se
\det(A)\neq 0.
Calculamos
\det(A)=a\cdot 4 - (-1)\cdot 2 = 4a + 2.

Passo 4

Para garantir \det(A)\neq 0 basta impor
4a + 2 \neq 0 \quad\Longrightarrow\quad a \neq -\tfrac12.

Resposta

a \neq -\tfrac{1}{2}.

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