Determine o valor verdade de cada uma das proposições:
(\exists x \in \mathbb{R})(\forall y \in \mathbb{R})(y \neq 0 \rightarrow x y=1)

Passo 1

O enunciado pede o valor de verdade da proposição
(\exists x \in \mathbb{R})(\forall y \in \mathbb{R})\bigl(y \neq 0 \rightarrow x\,y = 1\bigr).
O conteúdo envolve quantificadores existencial e universal e a interpretação da implicação lógica.

Passo 2

A implicação y \neq 0 \rightarrow x\,y = 1 exige que, para todo y não nulo, tenhamos x\,y = 1. Se um mesmo x deve atender a isso para todos os y\neq0, então em particular:
  • Tomando y=1, a condição pede x \cdot 1 = 1, ou seja, x=1.
  • Tomando y=2, a condição pede x \cdot 2 = 1, ou seja, x=\tfrac12.

Passo 3

Como não existe nenhum número real x que simultaneamente seja igual a 1 e a \tfrac12, não há x\in\mathbb{R} satisfazendo \forall y\neq0\colon x\,y=1. Logo, a parte existencial falha.

Resposta

A proposição é falsa.

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