Determine o valor verdade de cada uma das proposições:
(\forall x \in \mathbb{R})[x \neq 0 \rightarrow(\exists y \in \mathbb{R})(x y=1)]

Passo 1

O enunciado é a proposição
(\forall x \in \mathbb{R})\bigl[x \neq 0 \;\rightarrow\;(\exists y \in \mathbb{R})(x\,y=1)\bigr].
Trata-se de um quantificador universal sobre \mathbb{R} aplicado a uma implicação cujo consequente é um quantificador existencial. Nosso objetivo é decidir se essa fórmula é verdadeira ou falsa considerando as propriedades dos números reais.

Passo 2

Para cada x\in\mathbb{R} temos dois casos:
  1. Se x=0, então a antecedente da implicação x\neq0 é falsa, e uma implicação com antecedente falsa é sempre verdadeira.
  2. Se x\neq0, basta exhibir um y\in\mathbb{R} tal que x\,y=1. Como x é não nulo em \mathbb{R}, existe seu inverso multiplicativo 1/x\in\mathbb{R} e de fato
x\cdot\frac1x = 1.
Logo \exists y\in\mathbb{R} com x\,y=1, fazendo o consequente verdadeiro.
Em ambos os casos a implicação vale, o que faz a sentença universal verdadeira.

Resposta

A proposição é verdadeira.

Exercícios relacionados