Determine os valores de a e b que tornam o sistema abaixo: possível determinado, possível indeterminado ou impossível.
\left\{\begin{aligned} x+a y+b z & =3 \\\\ 2 x+(2 a+1) y+(2 b+a) z & =b+6 \\\ x+(a+2) y+(3 a+b) z & =3 b+3 \end{aligned}\right.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos o sistema
\begin{cases} x + a\,y + b\,z = 3,\\\\ 2x + (2a+1)\,y + (2b+a)\,z = b+6,\\\ x + (a+2)\,y + (3a+b)\,z = 3b+3, \end{cases}
e queremos classificar para quais (a,b) ele é possível determinado (solução única), possível indeterminado (infinitas soluções) ou impossível (sem solução). Vamos usar determinantes e análise de consistência de matrizes.

Passo 2

Construímos a matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & a & b\\\\ 2 & 2a+1 & 2b+a\\\\ 1 & a+2 & 3a+b \end{pmatrix}
e calculamos o determinante \Delta = \det(A).

Passo 3

Usando expansão, obtemos
\Delta = a.
Logo, se a \neq 0, então \Delta \neq 0 e o sistema tem solução única (possível determinado).

Passo 4

Agora consideramos o caso a=0\). O sistema fica \[\begin{cases} x + 0\cdot y + b\,z = 3,\\\\ 2x + 1\cdot y + 2b\,z = b+6,\\\ x + 2\,y + b\,z = 3b+3. \end{cases}
A matriz de coeficientes tem posto 2\] (pois algum menor \(2\times2 é não nulo), mas o determinante total é zero, então pode ser indeterminado ou impossível.

Passo 5

Verificamos consistência comparando a terceira equação como combinação da primeira e da segunda.
Procuramos \alpha,\beta tais que
\alpha\,(1,0,b) + \beta\,(2,1,2b) = (1,2,b).
Dessa comparação surge \beta=2 e, para b\neq0, \alpha=-3.
Aplicando esses mesmos coeficientes aos termos independentes, a combinação dá
-3\cdot3 + 2\,(b+6) = 2b+3,
que deve igualar 3b+3. Isso só acontece se b=0.

Passo 6

Conclusões para a=0:
  • Se b=0, a terceira equação é combinação exata das duas primeiras e sobra uma variável livre ( z fica livre), logo infinitas soluções (possível indeterminado).
  • Se b\neq0, a combinação falha e o sistema fica inconsistente, logo sem solução (impossível).

Resposta

Possível determinado: a\neq0 (qualquer b).
Possível indeterminado: a=0 e b=0.
Impossível: a=0 e b\neq0.

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