e queremos classificar para quais (a,b) ele é possível determinado (solução única), possível indeterminado (infinitas soluções) ou impossível (sem solução). Vamos usar determinantes e análise de consistência de matrizes.
Passo 2
Construímos a matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & a & b\\\\ 2 & 2a+1 & 2b+a\\\\ 1 & a+2 & 3a+b \end{pmatrix}
e calculamos o determinante \Delta = \det(A).
Passo 3
Usando expansão, obtemos
\Delta = a.
Logo, se a \neq 0, então \Delta \neq 0 e o sistema tem solução única (possível determinado).
Passo 4
Agora consideramos o caso a=0\). O sistema fica
\[\begin{cases} x + 0\cdot y + b\,z = 3,\\\\ 2x + 1\cdot y + 2b\,z = b+6,\\\ x + 2\,y + b\,z = 3b+3. \end{cases}
A matriz de coeficientes tem posto 2\] (pois algum menor \(2\times2 é não nulo), mas o determinante total é zero, então pode ser indeterminado ou impossível.
Passo 5
Verificamos consistência comparando a terceira equação como combinação da primeira e da segunda.
Procuramos \alpha,\beta tais que
\alpha\,(1,0,b) + \beta\,(2,1,2b) = (1,2,b).
Dessa comparação surge \beta=2 e, para b\neq0, \alpha=-3.
Aplicando esses mesmos coeficientes aos termos independentes, a combinação dá
-3\cdot3 + 2\,(b+6) = 2b+3,
que deve igualar 3b+3. Isso só acontece se b=0.
Passo 6
Conclusões para a=0:
Se b=0, a terceira equação é combinação exata das duas primeiras e sobra uma variável livre (z fica livre), logo infinitas soluções (possível indeterminado).
Se b\neq0, a combinação falha e o sistema fica inconsistente, logo sem solução (impossível).
Resposta
Possível determinado: a\neq0 (qualquer b).
Possível indeterminado: a=0 e b=0.
Impossível: a=0 e b\neq0.