Para cada um dos sistemas lineares abaixo, (i) encontre as matrizes A, \mathbf{b} e [A \mid \mathbf{b}], (ii) escalone a matriz [A \mid \mathbf{b}], (iii) determine as variáveis livres e as variáveis dependentes, (iv) classifique e (v) resolva o sistema (quando houver solução).
\{\begin{aligned} x+2 y-z & =0 \\\\ 2 x-y+3 z & =0 \\\\ 4 x+3 y+z & =0\end{aligned}\}

Passo 1

O enunciado fornece o sistema homogêneo de três equações e três incógnitas
\begin{cases} x + 2y - z = 0,\\\\ 2x - y + 3z = 0,\\\\ 4x + 3y + z = 0, \end{cases}
e pede: (i) as matrizes A, \mathbf b e [A\mid \mathbf b]; (ii) escalonamento de [A\mid \mathbf b]; (iii) variáveis livres e dependentes; (iv) classificação do sistema; (v) solução geral quando existir. Vamos usar operações elementares de linha para encontrar a forma escalonada, depois analisar pivôs e parametrizar a solução.

Passo 2

(i) As matrizes são:
A é a matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\\\ 2 & -1 & 3\\\\ 4 & 3 & 1 \end{pmatrix}
\mathbf b é o vetor termo-independente
\mathbf b = \begin{pmatrix} 0\\\\ 0\\\\ 0 \end{pmatrix}
e a matriz aumentada é
[A \mid \mathbf b] = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 0\\\\ 2 & -1 & 3 & 0\\\\ 4 & 3 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 3

(ii) Aplicamos operação L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1 e L_3 \leftarrow L_3 - 4L_1, obtendo
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 0\\\\ 0 & -5 & 5 & 0\\\\ 0 & -5 & 5 & 0 \end{pmatrix}.
Em seguida L_3 \leftarrow L_3 - L_2
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 0\\\\ 0 & -5 & 5 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},
que é a forma escalonada de [A\mid \mathbf b].

Passo 4

(iii) Os pivôs aparecem em coluna 1 (variável x) e em coluna 2 (variável y). Logo x e y são variáveis dependentes e z é variável livre.

Passo 5

(iv) Como \mathrm{rank}(A)=2<3 e o sistema é homogêneo, ele é sempre consistente e admite infinitas soluções.

Passo 6

(v) Para resolver, seja parâmetro
z = t.
Da segunda linha escalonada -5y +5z = 0 vem y = z = t. Da primeira linha x +2y -z =0 obtemos
x = -2y + z = -2t + t = -t.
Portanto a solução geral é
(x,y,z) = \bigl(-t,\;t,\;t\bigr) = t\,(-1,1,1),\quad t\in\mathbb R.

Resposta

(i)
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\\\ 2 & -1 & 3\\\\ 4 & 3 & 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf b = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}, \quad [A\mid \mathbf b] = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 0\\\\ 2 & -1 & 3 & 0\\\\ 4 & 3 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
(ii)
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 0\\\\ 0 & -5 & 5 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
(iii) Variáveis dependentes: x,y; variável livre: z.
(iv) Sistema homogêneo com \mathrm{rank}(A)=2<3 \Rightarrow infinitas soluções.
(v) Solução geral
(x,y,z)=t\,(-1,1,1),\quad t\in\mathbb R.

Exercícios relacionados