Determine para que valores de
a equação abaixo admite alguma solução não nula,
Passo 1
O enunciado pede os valores de
para que a equação
admita alguma solução
. Vamos usar o conhecimento do intervalo de valores de
e de
, além das condições de igualdade nesses extremos.
Passo 2
Como
para todo
, temos
Por outro lado,
. Logo, para que
se cumpra, é necessário e suficiente que
Passo 3
Da igualdade
obtemos
com
. Para garantir solução não nula, exigimos
.
Passo 4
Da igualdade
segue
, ou seja
com
. Substituindo
temos
Passo 5
A condição
com inteiros
e
diz exatamente que
é um número racional. Reciprocamente, para qualquer
escrito na forma irreduzível
, basta tomar
e
para obter uma solução
.
Resposta
A equação admite solução não nula se, e somente se,