Determine para que valores de a a equação abaixo admite alguma solução não nula,
1+\operatorname{sen}^{2} a x=\cos x

Passo 1

O enunciado pede os valores de a para que a equação
1 + \operatorname{sen}^{2}(a x) = \cos x
admita alguma solução x\neq0. Vamos usar o conhecimento do intervalo de valores de \operatorname{sen}^{2} e de \cos, além das condições de igualdade nesses extremos.

Passo 2

Como \operatorname{sen}^{2}(a x)\ge0 para todo x, temos
1 + \operatorname{sen}^{2}(a x)\ge1.
Por outro lado, \cos x\le1. Logo, para que
1 + \operatorname{sen}^{2}(a x) = \cos x
se cumpra, é necessário e suficiente que
1 + \operatorname{sen}^{2}(a x)=1 \quad\text{e}\quad \cos x=1.

Passo 3

Da igualdade \cos x=1 obtemos
x = 2n\pi,
com n\in\mathbb{Z}. Para garantir solução não nula, exigimos n\neq0.

Passo 4

Da igualdade 1 + \operatorname{sen}^{2}(a x)=1 segue \operatorname{sen}^{2}(a x)=0, ou seja
\operatorname{sen}(a x)=0 \implies a x = k\pi,
com k\in\mathbb{Z}. Substituindo x=2n\pi temos
a\,(2n\pi)=k\pi \quad\Longrightarrow\quad a = \frac{k}{2n}.

Passo 5

A condição a = \tfrac{k}{2n} com inteiros k e n\neq0 diz exatamente que a é um número racional. Reciprocamente, para qualquer a\in\mathbb{Q} escrito na forma irreduzível a=\tfrac{p}{q}, basta tomar n=q e k=2p para obter uma solução x=2n\pi\neq0.

Resposta

A equação admite solução não nula se, e somente se, a\in\mathbb{Q}.

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