Prove a identidade abaixo, válida para todo x onde a expressão do lado esquerdo está bem definida.
\frac{\operatorname{sen} x-2 \operatorname{sen}^{3} x}{2 \cos ^{3} x-\cos x}=\operatorname{tg} x

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, sempre que tudo estiver bem definido (isto é, \cos x\neq0 e 2\cos^2x-1\neq0), vale
\frac{\sin x-2\sin^3x}{2\cos^3x-\cos x}=\tan x.
O conteúdo envolve identidades trigonométricas (em particular ângulo duplo) e fatoração de expressões em \sin x e \cos x.

Passo 2

Primeiro fatoramos \sin x no numerador e \cos x no denominador:
\frac{\sin x-2\sin^3x}{2\cos^3x-\cos x} =\frac{\sin x\bigl(1-2\sin^2x\bigr)}{\cos x\bigl(2\cos^2x-1\bigr)}.

Passo 3

Reconhecemos as identidades de ângulo duplo:
1-2\sin^2x=\cos2x \quad\text{e}\quad 2\cos^2x-1=\cos2x.

Passo 4

Substituindo essas igualdades em cada fator, obtemos
\frac{\sin x\bigl(1-2\sin^2x\bigr)}{\cos x\bigl(2\cos^2x-1\bigr)} =\frac{\sin x\;\cos2x}{\cos x\;\cos2x} =\frac{\sin x}{\cos x} =\tan x.

Resposta

\displaystyle \frac{\sin x-2\sin^3x}{2\cos^3x-\cos x}=\tan x.

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