Determine os valores de a e b para que a função seja contínua para qualquer x.
f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}-1, \text { se } x<3 \\\\ 2 a x, \text { se } x \geq 3\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} x^{2}-1, & x<3,\\\\ 2a\,x, & x\ge3, \end{cases}
e pede que seja contínua em todo \mathbb{R}. Nesse caso, cada ramo é polinomial (logo contínuo) em seu domínio, restando exigir continuidade em x=3.

Passo 2

Para x<3, o limite pela esquerda em x=3 é
\lim_{x\to3^-}f(x) =\lim_{x\to3^-}(x^2-1) =3^2-1 =8.

Passo 3

Para x\ge3, o valor de f em x=3 (que coincide com o limite pela direita, pois é polinômio) é
f(3)=2a\cdot3=6a.

Passo 4

Continuaridade em x=3 exige
\lim_{x\to3^-}f(x)=f(3),
ou seja
8=6a \quad\Longrightarrow\quad a=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}.

Resposta

a=\tfrac{4}{3}.

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