Determine os valores de a e b para que a função seja contínua para qualquer x.
f(x)=\left\{\begin{array}{l}-2, \text { se } x \leq-1 \\\ a x-b, \quad \text { se }-1<x<1 \\\\ 3, \quad \text { se } \quad x \geq 1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= \begin{cases} -2, & x\le -1,\\\ ax - b, & -1<x<1,\\\\ 3, & x\ge 1, \end{cases}
e pede a e b de modo que f seja contínua para todo x. Para isso, precisamos garantir continuidade em x=-1 e em x=1, ou seja, os limites laterais nesses pontos devem coincidir com os valores de f.

Passo 2

Em x=-1, temos
o valor à esquerda: f(-1)= -2,
o valor à direita (limite):
\lim_{x\to -1^+}f(x)=a(-1)-b = -a - b.
Para continuidade, igualamos:
-\,a - b = -2 \quad\Longrightarrow\quad a + b = 2.

Passo 3

Em x=1, temos
o valor à direita: f(1)=3,
o valor à esquerda (limite):
\lim_{x\to 1^-}f(x)=a\cdot1 - b = a - b.
Para continuidade, igualamos:
a - b = 3.

Passo 4

Resolvendo o sistema
\begin{cases} a + b = 2,\\\ a - b = 3, \end{cases}
somando as duas equações vem 2a = 5, logo a = \tfrac{5}{2}. Substituindo em a + b = 2 b = 2 - \tfrac{5}{2} = -\tfrac{1}{2}.

Resposta

a = \tfrac{5}{2},\quad b = -\tfrac{1}{2}.

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