Determine os valores de a e b para que a função seja contínua para qualquer x.
f(x)=\left\{\begin{array}{l}a x+2 b, \text { se } x \leq 0 \\\ x^{2}+3 a-b, \quad \text { se } 0<x \leq 2 \\\\ 3 x-5, \quad \text { se } \quad x>2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= \begin{cases} a\,x+2b, & x\le0,\\\ x^{2}+3a-b, & 0<x\le2,\\\\ 3x-5, & x>2, \end{cases}
e pede que ela seja contínua em todo x. Como os únicos pontos críticos são as fronteiras x=0 e x=2, vamos impor continuidade nessas duas abscissas, ou seja, exigir que os limites laterais coincidam com o valor da função.

Passo 2

Para x=0:
o limite pela esquerda é
\lim_{x\to0^-}f(x)=a\cdot0+2b=2b,
o limite pela direita é
\lim_{x\to0^+}f(x)=0^{2}+3a-b=3a-b.
Impondo 2b=3a-b obtemos
3b=3a \quad\Longrightarrow\quad b=a.

Passo 3

Para x=2:
o limite pela esquerda é
\lim_{x\to2^-}f(x)=2^{2}+3a-b=4+3a-b,
o limite pela direita é
\lim_{x\to2^+}f(x)=3\cdot2-5=1.
Impondo 4+3a-b=1 e substituindo b=a resulta em
4+3a-a=1 \quad\Longrightarrow\quad 2a=-3 \quad\Longrightarrow\quad a=-\tfrac{3}{2},
logo b=a=-\tfrac{3}{2}.

Resposta

a = -\tfrac{3}{2}, \quad b = -\tfrac{3}{2}.

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