1. Determine os os valores de \lambda tais que \operatorname{det}(A-\lambda I)=0, da matriz:
$$A=\left( \begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede: determinar os valores de \lambda tais que \operatorname{det}(A-\lambda I)=0, onde a matriz A é
A=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 2 & 3\end{pmatrix}.
Informações dadas que vamos usar:
  • Os elementos de A são a_{11}=1, a_{12}=1, a_{21}=2, a_{22}=3.
  • Queremos os valores de \lambda que anulam o determinante de A-\lambda I.]

Passo 2

Primeiro vamos escrever a matriz A-\lambda I. Aqui I é a matriz identidade 2\times2,
I=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix},
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A-\lambda I=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 2 & 3\end{pmatrix}-\lambda\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1-\lambda & 1\\[4pt] 2 & 3-\lambda\end{pmatrix}.
Explicação breve: subtrair \lambda I significa subtrair \lambda da diagonal da matriz A.]

Passo 3

Agora precisamos calcular o determinante de uma matriz 2\times2. A fórmula é:
\operatorname{det}\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix} = ad-bc.
Aplicando essa fórmula a A-\lambda I obtemos
\operatorname{det}(A-\lambda I)=(1-\lambda)(3-\lambda)-2\cdot 1.]

Passo 4

Vamos expandir e simplificar a expressão encontrada:
(1-\lambda)(3-\lambda)=3-4\lambda+\lambda^2,
portanto
\operatorname{det}(A-\lambda I)=3-4\lambda+\lambda^2-2=\lambda^2-4\lambda+1.
Isso nos dá o polinômio característico
p(\lambda)=\lambda^2-4\lambda+1.
Queremos resolver p(\lambda)=0.

Passo 5

Para resolver \lambda^2-4\lambda+1=0 usamos a fórmula quadrática. Para uma equação \alpha\lambda^2+\beta\lambda+\gamma=0 as raízes são
\lambda=\frac{-\beta\pm\sqrt{\beta^2-4\alpha\gamma}}{2\alpha}.
No nosso caso \alpha=1, \beta=-4, \gamma=1. O discriminante é
\Delta=\beta^2-4\alpha\gamma = (-4)^2-4\cdot1\cdot1=16-4=12.
Portanto as raízes são
\lambda=\frac{4\pm\sqrt{12}}{2}.

Passo 6

Simplificamos \sqrt{12}. Como \sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=2\sqrt{3}, temos
\lambda=\frac{4\pm 2\sqrt{3}}{2}=2\pm\sqrt{3}.
Ou seja, os valores de \lambda que anulam \operatorname{det}(A-\lambda I) são \lambda=2+\sqrt{3} e \lambda=2-\sqrt{3}.
Um comentário prático: esses são os autovalores (eigenvalues) da matriz A; se quiser uma verificação rápida, pode substituir cada \lambda em p(\lambda) e confirmar que dá zero.

Resposta

\lambda = 2+\sqrt{3}
\lambda = 2-\sqrt{3}

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