Exercício 4.4 - Um fio de aço A B está tensionado entre os suportes rígidos. A pré-tensāo inicial no fio é de 42 MPa a um temperatura de 20^{\circ} \mathrm{C}. (a) Qual é a tensāo axial no fio quando a temperatura desce a 0^{\circ} \mathrm{C} ? (b) A qual temperatura a tensāo no fio se torna nula? Assuma \alpha=14.0 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} \mathrm{C} \mathrm{e} E=200 \mathrm{GPa}. [Resposta: (a) \sigma=98 MPa , (b) \left.T=35^{\circ} \mathrm{C}\right]

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado:
  • O fio está preso entre suportes rígidos (imagem mostra os suportes fixos), ou seja, o comprimento do fio não pode mudar quando a temperatura varia.
  • A pré-tensão inicial no fio é \sigma_0=42\\ \mathrm{MPa} à temperatura inicial T_0=20^\circ\mathrm{C}.
  • A constante de dilatação térmica linear é \alpha=14{,}0\times10^{-6}/^\circ\mathrm{C}.
  • O módulo de Young (módulo de elasticidade) é E=200\\ \mathrm{GPa}.
    As perguntas são:
    (a) Qual é a tensão axial no fio quando a temperatura desce para T=0^\circ\mathrm{C}?
    (b) A qual temperatura a tensão no fio se torna nula ( \sigma=0)?

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
  • Dilatação térmica livre: um corpo livre muda de comprimento por uma variação de temperatura \Delta T segundo a deformação térmica
\epsilon_{\text{th}}=\alpha\,\Delta T,
onde \Delta T=T-T_0. Essa \epsilon_{\text{th}} é a deformação que ocorreria se o fio fosse livre para mudar de comprimento.
  • Lei de Hooke (regime elástico linear): a tensão e a deformação mecânica estão relacionadas por
\sigma=E\,\epsilon_{\text{m}},
onde \epsilon_{\text{m}} é a deformação mecânica (devida à força).
  • Condição de suportes rígidos: como os suportes impedem variação do comprimento, a variação total da deformação axial do fio deve ser zero. Se o fio sofre uma deformação térmica livre \epsilon_{\text{th}}, então a variação da deformação mecânica necessária para manter o comprimento fixo é
\Delta\epsilon_{\text{m}}=-\epsilon_{\text{th}}=-\alpha\,\Delta T.
  • Consequentemente, a variação da tensão quando a temperatura muda é
\Delta\sigma=E\,\Delta\epsilon_{\text{m}}=-E\alpha\,\Delta T.
  • Portanto a tensão em uma nova temperatura T (partindo de \sigma_0 em T_0) é
\sigma(T)=\sigma_0-\;E\alpha\,(T-T_0).
(Explicação do sinal: se T<T_0 então T-T_0<0 e -E\alpha(T-T_0)>0, isto é, o resfriamento aumenta a tensão axial quando o fio está preso.)

Passo 3

Calcular os parâmetros intermediários numéricos (sempre usar unidades compatíveis):
  • Converter E para \mathrm{MPa} para facilitar com \sigma_0:
E=200\\ \mathrm{GPa}=200\,000\\ \mathrm{MPa}.
  • Calcular o produto E\alpha:
E\alpha=(200\,000\\ \mathrm{MPa})\cdot(14{,}0\times10^{-6}/^\circ\mathrm{C})=2{,}8\\ \mathrm{MPa}/^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Resolver a parte (a): tensão quando a temperatura desce para T=0^\circ\mathrm{C}.
  • A variação de temperatura é
\Delta T=T-T_0=0^\circ\mathrm{C}-20^\circ\mathrm{C}=-20^\circ\mathrm{C}.
  • A variação de tensão é
\Delta\sigma=-E\alpha\,\Delta T=-(2{,}8\\ \mathrm{MPa}/^\circ\mathrm{C})\cdot(-20^\circ\mathrm{C})=+56\\ \mathrm{MPa}.
  • A tensão final é
\sigma(0^\circ\mathrm{C})=\sigma_0+\Delta\sigma=42\\ \mathrm{MPa}+56\\ \mathrm{MPa}=98\\ \mathrm{MPa}.

Passo 5

Resolver a parte (b): temperatura em que a tensão se torna nula ( \sigma=0).
  • Usar a fórmula geral e resolver para T:
0=\sigma_0-E\alpha\,(T-T_0)\quad\Rightarrow\quad T=T_0+\frac{\sigma_0}{E\alpha}.
  • Substituir valores (usando E\alpha=2{,}8\\ \mathrm{MPa}/^\circ\mathrm{C}):
T=20^\circ\mathrm{C}+\frac{42\\ \mathrm{MPa}}{2{,}8\\ \mathrm{MPa}/^\circ\mathrm{C}}=20^\circ\mathrm{C}+15^\circ\mathrm{C}=35^\circ\mathrm{C}.
Interpretação rápida: em temperaturas acima de 35^\circ\mathrm{C} o fio ficaria em compressão (se os suportes permanecessem rígidos), pois a dilatação térmica forçaria compressão quando impedida.

Resposta

(a) \sigma=98\\ \mathrm{MPa}
(b) T=35^\circ\mathrm{C}

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