Exercício 4.4 - Um fio de aço
está tensionado entre os suportes rígidos. A pré-tensāo inicial no fio é de 42 MPa a um temperatura de
. (a) Qual é a tensāo axial no fio quando a temperatura desce a
? (b) A qual temperatura a tensāo no fio se torna nula? Assuma
. [Resposta: (a)
MPa , (b)
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos foi dado:
- O fio está preso entre suportes rígidos (imagem mostra os suportes fixos), ou seja, o comprimento do fio não pode mudar quando a temperatura varia.
- A pré-tensão inicial no fio é
à temperatura inicial . - A constante de dilatação térmica linear é
. - O módulo de Young (módulo de elasticidade) é
.
As perguntas são:
(a) Qual é a tensão axial no fio quando a temperatura desce para?
(b) A qual temperatura a tensão no fio se torna nula ()?
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
- Dilatação térmica livre: um corpo livre muda de comprimento por uma variação de temperatura
segundo a deformação térmica
onde
. Essa
é a deformação que ocorreria se o fio fosse livre para mudar de comprimento.
- Lei de Hooke (regime elástico linear): a tensão e a deformação mecânica estão relacionadas por
onde
é a deformação mecânica (devida à força).
- Condição de suportes rígidos: como os suportes impedem variação do comprimento, a variação total da deformação axial do fio deve ser zero. Se o fio sofre uma deformação térmica livre
, então a variação da deformação mecânica necessária para manter o comprimento fixo é
- Consequentemente, a variação da tensão quando a temperatura muda é
- Portanto a tensão em uma nova temperatura
(partindo de em ) é
(Explicação do sinal: se
então
e
, isto é, o resfriamento aumenta a tensão axial quando o fio está preso.)
Passo 3
Calcular os parâmetros intermediários numéricos (sempre usar unidades compatíveis):
- Converter
para para facilitar com :
- Calcular o produto
:
Passo 4
Resolver a parte (a): tensão quando a temperatura desce para
.
- A variação de temperatura é
- A variação de tensão é
- A tensão final é
Passo 5
Resolver a parte (b): temperatura em que a tensão se torna nula (
).
- Usar a fórmula geral e resolver para
:
- Substituir valores (usando
):
Interpretação rápida: em temperaturas acima de
o fio ficaria em compressão (se os suportes permanecessem rígidos), pois a dilatação térmica forçaria compressão quando impedida.
Resposta
(a)
(b)
(b)