Determine os valores de m e q para que a equação x^{2}+q y^{2}+2 m x-1=0 represente :
uma circunferência;

Passo 1

O enunciado dá a equação de segundo grau
x^{2} + q\,y^{2} + 2m\,x - 1 = 0
e pede para que ela represente uma circunferência. O conteúdo que vamos usar é a classificação de cônicas pela forma geral
A\,x^{2} + B\,x\,y + C\,y^{2} + D\,x + E\,y + F = 0.

Passo 2

Para que uma cônica sem termo xy seja uma circunferência, é preciso que os coeficientes de x^{2} e de y^{2} sejam iguais e não nulos. Aqui temos
A = 1, B = 0 e C = q.
Portanto, a condição é
1 = q.

Passo 3

Com q = 1, a equação fica
x^{2} + y^{2} + 2m\,x - 1 = 0.
Completemos o quadrado em x:
x^{2} + 2m\,x = (x + m)^{2} - m^{2}.
Logo,
(x + m)^{2} - m^{2} + y^{2} - 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (x + m)^{2} + y^{2} = m^{2} + 1.
Isso define uma circunferência de centro (-m,0) e raio
r = \sqrt{\,m^{2} + 1\,},
o qual é sempre real e positivo para todo m\in\mathbb{R}.

Resposta

q = 1 e m pode ser qualquer número real.

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