Determine os valores de m e q para que a equação x^{2}+q y^{2}+2 m x-1=0 represente :
uma elipse;

Passo 1

O enunciado pede para achar os parâmetros m e q de modo que
x^{2} + q\,y^{2} + 2\,m\,x - 1 = 0
seja uma elipse. O conteúdo é classificação de cônicas de segunda ordem, sem termo xy.

Passo 2

Em geral, uma cônica A x^2 + B xy + C y^2 + D x + E y + F = 0 é elipse se não tiver termo misto ( B=0) e A e C tiverem o mesmo sinal, com A\neq0 e C\neq0. Aqui temos
A = 1,\quad B = 0,\quad C = q.
Para A e C terem mesmo sinal e não anularem, basta
q > 0.

Passo 3

Para garantir que a elipse exista de fato (não seja vazia), completamos o quadrado em x:
x^{2} + 2\,m\,x = (x + m)^{2} - m^{2},
logo a equação vira
(x + m)^{2} + q\,y^{2} = m^{2} + 1.
O lado direito é m^{2}+1>0 para todo m\in\mathbb{R}, então sempre define elipse real.

Resposta

m\in \mathbb{R} e q>0.

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