Determine os valores de m e q para que a equação x^{2}+q y^{2}+2 m x-1=0 represente :
um conjunto vazio;

Passo 1

O enunciado dá a curva no plano definida por
x^{2} + q\,y^{2} + 2m\,x - 1 = 0
e pede para encontrar valores de m e q tais que o conjunto das soluções seja vazio. O conteúdo aqui é classificação de cônicas pelo seu discriminante e análise de viabilidade real.

Passo 2

Vamos completar o quadrado em x. Escrevendo
x^{2} + 2m\,x = (x + m)^{2} - m^{2},
a equação fica
(x + m)^{2} - m^{2} + q\,y^{2} - 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (x + m)^{2} + q\,y^{2} = m^{2} + 1.

Passo 3

Para o conjunto ser vazio, não pode haver (x,y)\in\mathbb{R}^{2} que satisfaça
(x + m)^{2} + q\,y^{2} = m^{2} + 1.
Como (x + m)^{2}\ge0 para todo x, analisamos casos de q:
  1. Se q>0, então (x + m)^{2} + q\,y^{2}\ge0 e a igualdade
    (x + m)^{2} + q\,y^{2} = m^{2}+1>0 sempre admite soluções (é uma elipse).
  2. Se q=0, a equação vira (x + m)^{2} = m^{2}+1>0, que tem duas retas verticais reais.
  3. Se q<0, escrevemos q=-|q| e obtemos
    (x + m)^{2} - |q|\,y^{2} = m^{2}+1>0, que é hipérbole real.
Em todos os casos, m^{2}+1>0 garante existência de pontos reais.

Passo 4

Concluímos que não há nenhuma escolha real de m e q que torne o lado direito negativo ou impeça a existência de solução real. Logo, o conjunto de soluções nunca é vazio para m,q\in\mathbb{R}.

Resposta

Não existem valores reais de m e q que façam o conjunto de soluções ser vazio.

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