Determine os valores máximo e mínimo absolutos de cada função:
.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida em
por
O que nos pedem:
- Determinar o valor máximo absoluto de
no intervalo . - Determinar o valor mínimo absoluto de
no intervalo .
Informações relevantes fornecidas:
- O domínio considerado é o intervalo fechado
. - A função é dada explicitamente por
.
Passo 2
Estratégia (como proceder na prova — explicação didática):
- Para encontrar máximos e mínimos absolutos de uma função contínua em um intervalo fechado usamos o procedimento padrão:
- Calcular a derivada
. - Encontrar os pontos críticos no interior do intervalo, isto é, pontos onde
ou onde não existe. - Avaliar
nos pontos críticos e também nos extremos do intervalo (aqui e ). - Comparar esses valores: o maior será o máximo absoluto e o menor será o mínimo absoluto.
- Calcular a derivada
- Por que isso funciona (resumo intuitivo): numa função diferenciável, extremos internos só podem ocorrer onde a derivada é zero (teorema de Fermat). Em intervalo fechado, extremos também podem ocorrer nas bordas. Por isso avaliamos ambos.
Passo 3
Calcular a derivada
passo a passo (não pular etapas):
- Podemos usar a regra do produto em
. A regra do produto diz: se então . - Aqui tome
e . Então e . - Aplicando a regra do produto:
- Simplificando:
- Podemos factorar:
Passo 4
Encontrar pontos críticos no interior de
:
- Pontos críticos satisfazem
ou onde não existe. Aqui existe para todo , logo só resolvemos . - Resolver
dá
- O ponto
pertence ao intervalo , mas note que é também o extremo direito do intervalo. Não há outros pontos críticos no interior .
Passo 5
Analisar o sinal de
para entender monotonicidade (ajuda a interpretar resultados):
- Como
é crescente, para temos . Então em todo o intervalo, portanto
- Assim
é crescente em . Com função crescente, o menor valor no intervalo ocorre em e o maior em . - (Observação adicional: a segunda derivada é
que é negativa em todo o intervalo, indicando concavidade para baixo; isso confirma que não há outros máximos internos.)
Passo 6
Avaliar
nos candidatos (extremos e pontos críticos):
- Avaliando em
:
- Avaliando em
:
- Como
é crescente em , é o mínimo absoluto e é o máximo absoluto.
Resposta
Mínimo absoluto:
em
.
Máximo absoluto: em
.
Máximo absoluto: