Determine os valores máximo e mínimo absolutos de cada função:
f(x)=10 x(2-\ln x) ; x \in[1, e].

Passo 1

O enunciado dá a função f definida em [1,e] por
f(x)=10x(2-\ln x).
O que nos pedem:
  • Determinar o valor máximo absoluto de f no intervalo [1,e].
  • Determinar o valor mínimo absoluto de f no intervalo [1,e].
Informações relevantes fornecidas:
  • O domínio considerado é o intervalo fechado [1,e].
  • A função é dada explicitamente por f(x)=10x(2-\ln x).

Passo 2

Estratégia (como proceder na prova — explicação didática):
  • Para encontrar máximos e mínimos absolutos de uma função contínua em um intervalo fechado usamos o procedimento padrão:
    1. Calcular a derivada f'(x).
    2. Encontrar os pontos críticos no interior do intervalo, isto é, pontos onde f'(x)=0 ou onde f' não existe.
    3. Avaliar f nos pontos críticos e também nos extremos do intervalo (aqui x=1 e x=e).
    4. Comparar esses valores: o maior será o máximo absoluto e o menor será o mínimo absoluto.
  • Por que isso funciona (resumo intuitivo): numa função diferenciável, extremos internos só podem ocorrer onde a derivada é zero (teorema de Fermat). Em intervalo fechado, extremos também podem ocorrer nas bordas. Por isso avaliamos ambos.

Passo 3

Calcular a derivada f'(x) passo a passo (não pular etapas):
  • Podemos usar a regra do produto em f(x)=10x(2-\ln x). A regra do produto diz: se g(x)=u(x)v(x) então g'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
  • Aqui tome u(x)=10x e v(x)=2-\ln x. Então u'(x)=10 e v'(x)=-\dfrac{1}{x}.
  • Aplicando a regra do produto:
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=10(2-\ln x)+10x\left(-\frac{1}{x}\right).
  • Simplificando:
f'(x)=20-10\ln x-10=10-10\ln x.
  • Podemos factorar:
f'(x)=10(1-\ln x).

Passo 4

Encontrar pontos críticos no interior de [1,e]:
  • Pontos críticos satisfazem f'(x)=0 ou onde f' não existe. Aqui f' existe para todo x>0, logo só resolvemos f'(x)=0.
  • Resolver 10(1-\ln x)=0
1-\ln x=0 \quad\Rightarrow\quad \ln x=1 \quad\Rightarrow\quad x=e.
  • O ponto x=e pertence ao intervalo [1,e], mas note que é também o extremo direito do intervalo. Não há outros pontos críticos no interior (1,e).

Passo 5

Analisar o sinal de f'(x) para entender monotonicidade (ajuda a interpretar resultados):
  • Como \ln x é crescente, para x\in[1,e] temos \ln x\in[0,1]. Então 1-\ln x\ge 0 em todo o intervalo, portanto
f'(x)=10(1-\ln x)\ge 0\quad\text{para todo }x\in[1,e].
  • Assim f é crescente em [1,e]. Com função crescente, o menor valor no intervalo ocorre em x=1 e o maior em x=e.
  • (Observação adicional: a segunda derivada é
f''(x)=-\frac{10}{x},
que é negativa em todo o intervalo, indicando concavidade para baixo; isso confirma que não há outros máximos internos.)

Passo 6

Avaliar f nos candidatos (extremos e pontos críticos):
  • Avaliando em x=1:
f(1)=10\cdot 1\cdot(2-\ln 1)=10\cdot(2-0)=20.
  • Avaliando em x=e:
f(e)=10\cdot e\cdot(2-\ln e)=10e\cdot(2-1)=10e.
  • Como f é crescente em [1,e], f(1)=20 é o mínimo absoluto e f(e)=10e é o máximo absoluto.

Resposta

Mínimo absoluto: f(1)=20 em x=1.
Máximo absoluto: f(e)=10e em x=e.

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